常微分方程期中考试试卷(5) 计算题求下列方程的通解或通积分 1. (x+2y)dx-xdy=0 2.+ (y3+In x)dy =0 3.y=x(1-y2) 4.+3y=e2x dx 6.(2xy-cos x)dx+(x2-1)dy =0 7.y=xy'+(y)2
常微分方程期中考试试卷(5) 计算题 .求下列方程的通解或通积分 1. (x + 2y)dx − xdy = 0 2. d ( ln )d 0 3 x + y + x y = x y 3. (1 ) d d 2 x y x y y = − 4. x y x y 2 3 e d d + = 5．( e )d d 0 2 x − y x + x y = y 6．(2 cos )d ( 1)d 0 2 xy − x x + x − y = 7． 2 y = xy + ( y )
证明题 8.在方程中=f(y)(y)中,已知f(y),9(x)在(+∞)上连续,且 (土1)=0.求证:对任意x0和yo<1,满足初值条件y(x0)=y0的解y(x)的存在区间必 为(-∞,+∞) 9.设(x)在区间(-∞,+∞)上连续.试证明方程 y=(x)sin y 的所有解的存在区间必为(-∞,+∞) 10.假设方程=f(x,y)在全平面上满足解的存在惟一性定理条件,且y;(x),y2(x)是 定义在区间/上的两个解.求证:若y1(x0)<y2(x0),x∈I,则在区间I上必有y1(x) y2(x)成立
证明题 8. 在方程 ( ) ( ) d d f y y x y = 中，已知 f ( y) ， (x) 在 (−, + ) 上 连 续 ， 且 (1) = 0 ．求证：对任意 0 x 和 y0 1 ，满足初值条件 0 0 y(x ) = y 的解 y(x) 的存在区间必 为 (−, + ) ． 9. 设 (x) 在区间 (−, + ) 上连续．试证明方程 x y x y ( )sin d d = 的所有解的存在区间必为 (−, + ) 10. 假设方程 ( , ) d d f x y x y = 在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且 ( ) 1 y x ， ( ) 2 y x 是 定义在区间 I 上的两个解．求证：若 ( ) 1 0 y x < ( ) 2 0 y x ， x I 0 ，则在区间 I 上必有 ( ) 1 y x < ( ) 2 y x 成立．
答案:1。解方程化为 1+2 ddd 令y=x,则=+x,代入上式,得 分量变量,积分,通解为 Cx-1 原方程通解为 J=Cr2 2.解因为 OM 1 aN 所以原方程是全微分方程 取(x0,y)=(1,0),原方程的通积分为 yIn/+ 3.解当y≠1时,分离变量得 dy= xdx 等式两端积分得 dy=xdr+C In1 方程的通积分为 4.解齐次方程的通解为
答案：1。解 方程化为 x y x y 1 2 d d = + 令 y = xu ，则 x u u x x y d d d d = + ，代入上式，得 u x u x = 1+ d d 分量变量，积分，通解为 u = Cx −1 原方程通解为 y = Cx − x 2 2. 解 因为 x N y x M = = 1 ，所以原方程是全微分方程． 取 ( , ) (1, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 x y y C x x y y + = 0 3 1 d d 即 y x + y = C 4 4 1 ln 3．解 当 y 1 时，分离变量得 y x x y y d d 1 2 = − 等式两端积分得 2 d d 1 1 y x x C y y = + − 1 2 2 2 1 ln1 2 1 − y = x + C 1 2 2 2 1 e , e x C y C C − − − = = 方程的通积分为 2 1 e 2 x y C − = − 4．解 齐次方程的通解为 x y C 3 e − =
令非齐次方程的特解为 y=C(x)e 代入原方程,确定出C(x)=e”+C 原方程的通解为 5.解积分因子为 原方程的通积分为 (e dy=Cl 6.解由于 MaN,所以原方程是全微分方程 取(x0,y0)=(0,0),原方程的通积分为 (2xy-cosx)dx- dy=C x y-sin x-y=C 7.解原方程是克来洛方程,通解为 8.证明由已知条件可知,该方程在整个xoy平面上满足解的存在惟一及延展定理条件, 又存在常数解y=kx,k=0,±1,±2, 对平面内任一点(x0,y),若y0=kr,则过该点的解是y=k丌,显然是在(-∞,+∞) 上有定义 若yo≠kx,则y∈(kz,(k+1)z),记过该点的解为y=y(x),那么一方面解 y=y(x)可以向平面的无穷远无限延展;另一方面在条形区域 (x,y)-∞<x<+,kπ<y<(k+1nr}内y(x)不能上、下穿过解y=(k+1)和 y=kx,否则与解的惟一性矛盾.因此解的存在区间必为(-∞,+∞)
令非齐次方程的特解为 x y C x 3 ( )e − = 代入原方程，确定出 C x C x = + 5 e 5 1 ( ) 原方程的通解为 x y C 3 e − = + 2x e 5 1 5．解 积分因子为 2 1 ( ) x x = 原方程的通积分为 1 1 0 2 (e )dx dy C x x y y x − + = 即 1 e C, C e C x x y + = = + 6．解 由于 x N x y M = = 2 ，所以原方程是全微分方程． 取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 xy x x y C x y − − = 0 0 (2 cos )d d 即 x y − sin x − y = C 2 7．解 原方程是克来洛方程，通解为 2 y = Cx + C 8．证明 由已知条件可知，该方程在整个 xoy 平面上满足解的存在惟一及延展定理条件， 又存在常数解 y = k , k = 0, 1, 2, ． 对平面内任一点 ( , ) 0 0 x y ，若 y0 = k ，则过该点的解是 y = k ，显然是在 (−, + ) 上有定义． 若 y0 k , 则 ( , ( 1) ) y0 k k + , 记过该点的解为 y = y(x) ，那么一方面解 y = y(x) 可 以 向 平 面 的 无 穷 远 无 限 延 展 ； 另 一 方 面 在 条 形 区 域 {(x, y) − x +, k y (k +1)} 内 y(x) 不能上、下穿过解 y = (k +1) 和 y = k ，否则与解的惟一性矛盾．因此解的存在区间必为 (−, + ) ．
9.证明由已知条件,该方程在整个xOy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件 显然y=±1是方程的两个常数解 任取初值(x,y0),其中x0∈(-∞,+∞),|yby2(x)(y1(x)=y2(x)不可能出现,否则与解惟一矛盾 令y(x)=y1(x)-y2(x),那么 y(x0)=y1(x0)-y2(x0)0 续函数介值定理,存在x∈(x0,x),使得 y(x')=y1(x)-y2(x)=0 (x)=y2(x) 这与解惟一矛盾 出卷人:沈益斌 02412-36
9. 证明 由已知条件，该方程在整个 xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件． 显然 y = 1 是方程的两个常数解． 任取初值 ( , ) 0 0 x y ，其中 ( , ) x0 − + , y0 1 ．记过该点的解为 y = y(x) ，由上 面分析可知，一方面 y = y(x) 可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过 y = 1 ，下方不能穿过 y = −1 ，否则与惟一性矛盾．故该解的存在区间必为 (−, + ) ． 10. 证明 仅证 0 x x 方向，（反之亦然）． 假设存在 0 x x ，使得 ( ) 1 y x > ( ) 2 y x （ ( ) 1 y x = ( ) 2 y x 不可能出现，否则与解惟一矛盾 令 y(x) = ( ) 1 y x - ( ) 2 y x ，那么 ( ) 0 y x = ( ) 1 0 y x - ( ) 2 0 y x 0 由连续函数介值定理，存在 ( , ) 0 * x x x ，使得 ( ) * y x = ( ) * 1 y x - ( ) * 2 y x = 0 即 ( ) * 1 y x = ( ) * 2 y x 这与解惟一矛盾 ． 出卷人：沈益斌 02412-36
