初等变换与矩阵等价、初等变换的应用与标准形

2,1初等变换与矩阵等价 初等(行/列)变换 定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换 分r(1)对调两行(对调两行记作分p); kr(2)以数k≠0乘以某一行的所有元素 +/r (第i行乘k,记作r×k) (3)把某一行所有元素的k倍加到另一行 对应的元素上去(第行的k倍加到第i行上 记作r1+kr)

定义1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换: (1)对调两行（对调i, j两行,记作ri  rj）； (2)以 数 k  0 乘以某一行的所有元素; （第 i 行乘 k,记作 ri  k） ( ) . 3 记 作 ） 对应的元素上去（第 行 的 倍加到第 行 上 把某一行所有元素的 倍加到另一行 i krj r j k i k + 一. 初等（行/列）变换 j i i j r r kr r kr      +  i 2.1初等变换与矩阵等价

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“门换成“C)c分1 C. tkc 定义2矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型 相同 r分7逆变换分冷厂 万xk逆变换nx(或n÷k; k +逆变换r+(-k)或r-k

i j i i j c c kc c kc      +  同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是 把“r”换成“c”)． 定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为 初等变换． 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型 相同． i j r  r ri  k 逆变换 ; i j r  r 逆变换 ) ; 1 ( r k k ri  或 i  i krj r + 逆变换 ( ) . i j i krj r + −k r 或 r −

2矩阵等价 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B, 就称矩阵A与B等价,记作A~B 等价关系的性质: (1)反身性A~A; (2)对称性若A~B,则B~A (3)传递性若A~B,B-C,则A~C. 具有上述三条性质的关系称为等价

2.矩阵等价 等价关系的性质： （1 A A ） 反身性 ； （2 A B , B A; ）对称性 若 则 （3 A B,B C, A C. ）传递性 若 则 就称矩阵 与 等价，记作 ． 如果矩阵 经有限次初等变换变成矩 阵 ， A B A B A B ~ 具有上述三条性质的关系称为等价．

22初等变换的应用与标准形 例1对下列矩阵B实施初等行变换把B化成阶梯性矩阵 2-1 1>2 B= 122 ÷2 24 36-979/11-214 223 136 229 97

例1.对下列矩阵B实施初等行变换把B化成阶梯性矩阵. 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 4 6 2 2 4 3 6 9 7 9 B   − −   −   =   − −     − 1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9   −   − −     − −     − 1 2 3 2 r r r   2.2初等变换的应用与标准形

2 2 223 422 -3 000 53 2353 134 4663 7 72 000 1153 11334 4263

1 1 2 1 4 2 1 1 1 2 2 3 1 1 2 3 6 9 7 9   −   − −     − −     − 2 1 3 1 4 1 2 2 3 r r r r r r − − − 1 1 2 1 4 0 3 3 1 6 0 5 5 3 6 0 3 3 4 3   −   − − −     − − −     − − 2 r  −( 3) 1 1 2 1 4 1 0 1 1 2 3 0 5 5 3 6 0 3 3 4 3   −     −     − − −     − −

2 2/+5 0 000 -55 33 000 334-3 3433 4249 0 0 B 0 0 4230 0 0

1 1 2 1 4 1 0 1 1 2 3 0 5 5 3 6 0 3 3 4 3   −     −     − − −     − − 3 2 4 2 5 3 r r r r + − 1 1 2 1 4 1 0 1 1 2 3 4 0 0 0 4 3 0 0 0 3 9   −   − −   − 1 1 2 1 4 1 0 1 1 2 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 B   −     −   =   −     4 3 3 9 4 3 ( ) 4 r r r +  −

般地,对任何矩阵均可类似上例进行,从 而有以下定理 定理1任何非零矩阵4=(an)m可以只用 初等行变换化成阶梯形矩阵 例1中所得到的矩阵B如再经过初等列变换 还可将A化成更简单形式

定理1 ( 任何非零矩阵A a = ij m n ) 可以只用 初等行变换化成阶梯形矩阵。 一般地，对任何矩阵均可类似上例进行，从 而有以下定理 例1中所得到的矩阵B,如再经过初等列变换， 还可将A化成更简单形式

例如,c,-c 10000)c3+c2 C3+2c1 B cs 4c;0001-3 2c 00000 0000 10000 000 1-3c+3c101000 01000 00010 (00000 00000

例如， 2 1 3 1 4 1 5 1 2 4 c c c c c c c c − + − − 1 0 0 0 0 1 0 1 1 2 3 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0       −     −     3 2 4 1 5 1 1 3 2 c c c c c c + − − 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0         −     5 4 c c +3 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 00000             B

10000 C2<>C 01000 00100 00000 矩阵Ⅰ称为矩阵A的标准形 特点:I的左上角是一个单位矩阵,其余元素全 为零 m×n矩阵A总可经过初等变换化为标准形 e O n1×n

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 00000 I       =       3 4 c c  矩阵I A 称为矩阵 的标准形. 特点： . I的左上角是一个单位矩阵，其余元素全 为零 mn 矩阵 A总可经过初等变换化为标准形 r m n E O I O O    =    

此标准形由m,n,r三个数唯一确定,其中r就是 行阶梯形矩阵中非零行的行数 因此,我们有下面定理 定理2任何非零矩阵A=(an)n可以用初等变换 化成标准形 从定理2可以看出,若A~B,则A与B有相同的标 准形设A是n阶方阵,经初等变换后化成B,据行 列 式的性质及初等变换的定义可知,当|A≠0时

. , , 行阶梯形矩阵中非零行的行数 此标准形由m n r 三个数唯一确定，其中r 就是 因此，我们有下面定理 ( 任何非零矩阵A a = ij m n ) 可以用初等变换 化成标准形。 定理2 , . | | 0 A B A B A n B A  从定理2可以看出，若 则 与 有相同的标 准形设 是 阶方阵，经初等变换后化成 ，据行 列式的性质及初等变换的定义可知，当 时