⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节极限运算法则 无法显示该图片 定理有限个无穷小的和也是无穷小 证明考虑两个无穷小的和 设a及是当x→x时的两个无穷小而y=a+6 E>0因为a是当x→x时的无穷小对于6>0,361>0, 当0<x-x<6时,恒有
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理1 有限个无穷小的和也是无穷小. 证明 考虑两个无穷小的和 设及是当x → x0时的两个无穷小,而 = + 2 0 , 0, 0, 2 0, , 0 1 0 1 − → 当 时 恒 有 因 为 是 当 时的无穷小 对 于 x x x x 第五节 极限运算法则
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 因为是当x→x/时的无穷小对于>0,32>0, 2 当0<x-x0<6时,恒有 B 取δmn{61,62,则当0<x-x0<时,恒有 al<及< 从而y =g+6sa|+ +f=+=6 22 即证明了也是x→x的无穷小 定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证明设函数在U(x0,81内有界
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 即证明了 也 是 的无穷小 从 而 及 取 则 当 时 恒 有 0 1 2 0 2 2 2 2 min{ , }, 0 , x x x x → = + + = + = = − 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 证明 设函数u在U 0 (x0 ,1 )内有界， 2 0 , 0, 0, 2 , 0 2 0 2 − → 当 时 恒 有 因 为 是 当 时的无穷小对 于 x x x x
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 则M>0,81>0,使得当0x0时的无穷小, ∴VE>0,38,>0,使得当0x0时,a为无穷小 推论1常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2有限个无穷小的乘积也是无穷小
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics , 又设是当x → x0时的无穷小 . 0, 0, 0 2 0 2 M x x − 恒有 使得当 时 min{ , }, 取 = 1 2 则当0 x − x0 时,恒有 u = u M M = , , . 当x → x0时 u 为无穷小 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积也是无穷小. . 0, 1 0, 0 0 1 u M M x x − 恒有 则 使得当 时
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理3设limf(x)=A,img(x)=B,则 (1)lim∫(x)±g(x)=A±B; (2)limf(x)·g(x)=A·B; ()lim f(x)A 其中B≠0 g(x) B 证明imf(x)=A,limg(x)=B. f(x)=A+α,g(x)=B+β.其中α→0,B→0. 由无穷小运算法则,得 I∫(x)±g(x)-(A±B)=a±β→0.∴(1成立 ∫(x)·g(x)-(A·B)=(4+0)(B+β)-AB (4B+B)+aB→>0.:(2)成立
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理3 , 0. ( ) ( ) (3) lim (2) lim[ ( ) ( )] ; (1) lim[ ( ) ( )] ; lim ( ) ,lim ( ) , = = = = = B B A g x f x f x g x A B f x g x A B f x A g x B 其 中 设 则 证明 lim f (x) = A, lim g(x) = B. f (x) = A + , g(x) = B + . 其中 → 0, → 0. 由无穷小运算法则,得 [ f (x) g(x)]− (A B) = → 0. (1)成立. [ f (x) g(x)]− (A B) = (A+ )(B + ) − AB = (A + B) + → 0. (2)成立
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics f(r)AA+aA Ba-AB g(x)BB+βBB(B+β) B-Aβ→>0. 又∵β→0,B≠0,彐δ>0, B 当0B-2B=,B B(B+B)>B 故 2 B(B+B)B2 有界, (3)成立
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics B A g x f x − ( ) ( ) B A B A − + + = ( + ) − = B B B A B − A → 0. 又 → 0,B 0, 0, 0 , 当 x − x0 时 , 2 B B + B − B B 2 1 − B 2 1 = , 2 1 ( ) 2 B B + B , 2 ( ) 1 2 B B B + 故 有界， (3)成立
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 关于定理3中的(2),有如下推论: 推论1如果im∫(x)在而c为常数则 imqf(x)=cim∫(x) 推论2如果lim∫(x)存在,而n是正整数则 lf(x=lim f(r) 定理4设有数列和n如果imxn=A, lim y=B 则1)im(xn±yn)=A±B n→0 2)im(xn±yn)=A±B 3)当yn≠0=1 ,2,…)且B≠0时,im yu B
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 关于定理3中的(2),有如下推论: 推论1 lim[ ( )] lim ( ). lim ( ) , , cf x c f x f x c = 如 果 存 在 而 为常数 则 lim[ ( )] [lim ( )] . lim ( ) , , n n f x f x f x n = 推论2 如 果 存 在 而 是正整数 则 定理4 设有数列 和 .如果 则1) 2) 3)当 且 时, xn yn x A yn B n n n = = → → lim ,lim xn yn A B n = → lim( ) xn yn A B n = → lim( ) yn 0(n = 1,2, ) B 0 B A y x n n n = → lim
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理5如果@(x)≥y(x),而imp(x)=a,limy(x)=b, 那么a≥b 证明令∫(x)=p(x)-v(x,则f(x)>0,由本节定理有 limf(x)=limo(x)-y(x) lim (x)-limy(x) a-b 由第三节定推论,有lim∫(x)≥0, 即a-b≥0 故a>b 例3求lm(2x-1) x→1 AF lim(2x-1)=lim 2x-lim1=2limx-1=2-1=1 x→1 x→1
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理5 如果φ(x)≥ψ(x)，而limφ(x)=a, limψ(x)=b, 那么 a≥b 证明 a b a b f x a b x x f x x x f x x x f x − = − = − = − = − 故 即 由第三节定理 推 论 有 令 则 由本节定理 有 0 3 , lim ( ) 0, lim ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) 0, 3 例3 求 lim(2 1) 1 − → x x 解 lim(2 1) lim 2 lim 1 2lim 1 2 1 1 1 1 1 1 − = − = − = − = → → → → x x x x x x x
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4求im x+2x2-5x+3 解这里分母的极限不为零,故 lim(x--5x+3)=limx4-lim 5x+lim 3 →2 x→2 x→>2 (lim x)-5lim x+lim 3 x→2 x→2 22-52+3=-3≠0, 3 limx= 1 lim 2 2 x-2x'-5x+3 lim(x 5x+3) 23-1 2 3 小结:1.设∫(x)=a0x2+a1x"1+…+an,则有
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 5 3 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x 例4 求 解 这里分母的极限不为零,故 lim( 5 3) 2 2 − + → x x x lim lim 5 lim 3 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x (lim ) 5lim lim 3 2 2 2 →2 → → = − + x x x x x 2 5 2 3 2 = − + = −3 0, 5 3 1 lim 2 3 2 − + − → x x x x lim( 5 3) lim lim 1 2 2 2 3 2 − + − = → → → x x x x x x . 3 7 = − 3 2 1 3 − − = 小结: 1.设 f (x) = a0 x n + a1 x n−1 ++ an ,则有
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics lim f(x)=ao(lim x)+a,(lim x)+.+a x-xo x→x n = ar +a 0 1~0 +…+an=f(x0 2设f(x)= (x).且Q(x0)≠0,则有 e(x) lim f(x) lim P(x) P(xo=f(o) x→x0 x→X lim e(r) 2 (xo) x→x0 若Q(x0)=0,则商的法则不能应用 x-3 例5求lm 2 x-→3x2-9 解linx-3 lim 1 =lim x→>3 x-3x-9 x3 x+3 lim(x+3 )6 x-→3
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics n n x x n x x x x f x = a x + a x + + a − → → → lim ( ) 0 ( lim ) 1 ( lim ) 1 0 0 0 n n n = a x + a x + + a − 1 0 0 1 0 ( ). x0 = f 设 , 且 ( ) 0, 则有 ( ) ( ) 2. ( ) = Q x0 Q x P x f x lim ( ) lim ( ) lim ( ) 0 0 0 Q x P x f x x x x x x x → → → = ( ) ( ) 0 0 Q x P x = ( ). x0 = f ( ) 0, . 若Q x0 = 则商的法则不能应用 9 3 lim 2 3 − − → x x x 例5 求 6 1 lim( 3) lim 1 3 1 lim 9 3 lim 3 3 3 2 3 = + = + = − − → → → x → x x x x x x x 解
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 2x-3 例6求lm x-+1x2-5x+4 解因为分母的极限m(x2-5x+4)=0,不能应用商的极限 x→1 运算法则但因m+2-5x+40 x+12x-3 故由第四节定理得 2r-3 x→x2-5+4
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例6 求 5 4 2 3 lim 2 1 − + − → x x x x 解 = − + − = − − + − + = → → → 5 4 2 3 lim 2 0 2 3 5 4 , lim lim( 5 4) 0, 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x 故由第四节定理 得 运算法则 但 因 因为分母的极限 不能应用商的极限