天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第七章 空间解析几何与向量代数（7.2）数量积 向量积 *混合积

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节数量积向量积*混合积 两向量的数量积 二、两向量的向量积 、向量的混合积 返回 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节 数量积 向量积 *混合积 一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 三、向量的混合积 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 两向量的数量积 实例一物体在常力F作用下沿直线从点M1移动到点M2 以表示位移,则力F所作的功为 M W=Escos 8 (其中6为F与s的夹角 启示两向量作这样的运算,结果是一个数量 定义向量d与b的数量积为d.b ab=ab cos0(0=(a, b

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、两向量的数量积 实例 一物体在常力 F  作用下沿直线从点 M1 移动到点 M2 ， 以s  表示位移，则力F  所作的功为 W | F || s | cos   = (其中 为F  与 s 的夹角). M1 M2 F  s   启示两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 向量a 与b  的数量积为a b    a b | a || b | cos      = ( (a,b)).    =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics n·b=l‖b|c0sb b cos a=Prj,b, a cos 0= Pr i,a, a·b=b|Prjb=|l|Prjb 结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和另 个向量在这向量的方向上的投影的乘积 数量积也称为“点积”、“内积

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics a  b   a b | a || b | cos      = | b | cos Pr j b, a     = | a | cos Pr j a, b    = a b b j ba       =| | Pr | a | Pr j b. a   = 数量积也称为“点积”、“内积”. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另 一个向量在这向量的方向上的投影的乘积

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 关于数量积的说明: ()ad=ldl 证:日=0,∴a·a= alla cos=l (2)a·b=0←→a⊥b,(≠0,b≠0) 证(→)∵·b=0,|a≠0,|b≠0, C0S6=0,0=T (÷)∵⊥b,∴0=,c0s6=0, d·b=4b|c0s8=0

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 关于数量积的说明： (2) a  b = 0    a b,   ⊥ () a  b = 0,    | a | 0,  | b | 0,  a b.    ⊥ (1) | | . 2 a a a     = () a b,    ⊥ cos = 0,  = 0, | || | cos | | . 2 a a a a a      证   =  = 证 cos = 0,  = , 2  , 2   = ( 0, 0).     a  b  a  b =| a || b | cos = 0.    

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 数量积符合下列运算规律: (1)交换律:d·b=ba (2)分配律(+b)·C=a·￠+b·c; (3)若为数(A)·b=a·(b)=(a·b), 若九、p为数:()·()=(d·b)

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 数量积符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a;      =  （2）分配律： (a b) c a c b c;        +  =  +  （3）若  为数： ( a) b a ( b) (a b),         =   =   若  、  为数： ( a) ( b) (a b).        =  

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1试用向量证明三角形的余弦定理 证设在△4BC中,∠BCA=BC=a,CA=b,AB=c 要证c2=a2+b2-2 ab cos6 记CB=a,CA=b,AB=c,则有 b =a-b 从而 B b c=cc=(a-b).(a-b)=a.a+bb-2a.b =la +6-2 alb cos(a, b) 由d=a,6=b,阳=c,及(Gb)=,即得 c-=a+b-2ab cos 0

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 试用向量证明三角形的余弦定理 记 CB a,  = CA b,  = AB c,  = 则有 c a b,    = − 从而 c c c a b a b a a b b a b              =  = ( − )( − ) =  +  − 2  2 2 cos( , ). 2 2 a b a b a b       = + − 由 a = a,  b = b,  c = c,  及 (a,b) =  ,   即得 2 cos . 2 2 2 c = a + b − ab  a  b  c  A B  C 设在 ABC 中， BCA =  ,BC = a, CA = b, AB = c, 要证 2 cos . 2 2 2 c = a + b − ab  证：

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 数量积的坐标表达式 ia=a i+a,j+a, k, b=b,i+b,j+b, k db=(ai +a,j+a, k). (b, i +b,j+b, k) i与jk,∵t·=jk=k·L=0, i闩jk=1, ii=jj=k·k=1. i·b=a.b.+a.b.+a.b x X

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 数量积的坐标表达式 a  b =   (a i a j a k) x y z    + + (b i b j b k) x y z     + + i j k,     ⊥ ⊥ i  j = j  k = k  i = 0,       | i |=| j |=| k |= 1,     i  i = j  j = k  k = 1.       x x y y z z a  b = a b + a b + a b   a a i a j a k, x y z     = + + b bx i by j bzk     设 = + +

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics nb=l‖b|c0se→cs0=4:b ,(d≠0,b≠0 d‖b 两向量夹角余弦的坐标表示式: a.tab tab cos 6= 2 2 .+a.+a 6-+b+b 2 由此可知两向量垂直的充要条件为 ib<→a.b.+a,b+a.b.=0 ZZ

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics a b | a || b | cos      = , | || | cos a b a b        = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角余弦的坐标表示式： a⊥b    axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为 ( 0, 0).     a  b 

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2已知三点M(1,1)、A(2,2,1)和B(2,2),求AMB 解作向量MA及MB,∠AMB就是向量MA与MB的夹 角这里,MA=(1,1,0),MB=(1,0,1),从而 M4·MB=1×1+1×0+0×1=1 MA=√12+12+02=√2 MB|=√12+02+12=√2 代入两向量夹角余弦的表达式,得 M4·MB cos∠AMB= MA MB√2·v22 由此得∠AMB 元 3

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求 AMB . 解 作向量MA及MB， 就是向量MA与MB的夹 角.这里， MA=(1,1,0)， MB=(1,0,1),从而 AMB MA MB = 11+ 10 + 01 = 1; 1 1 0 2; 2 2 2 MA = + + = 1 0 1 2. 2 2 2 MB = + + = 代入两向量夹角余弦的表达式，得 . 2 1 2 2 1 cos =  =    = MA MB MA MB AMB 由此得 . 3  AMB =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3设液体流过平面S上面积为A的一个区域,液体在这区域 上各点处的流速均为(常向量)v设n为垂直于S的单位向量 计算单位时间内经过这区域流向n所指一侧的液体的质量P (液体的密度为) 解单位时间内流过这区域的液体组 成一个底面积为A、斜高为训的斜 柱体这柱体的斜高与底面的垂线的 夹角就是v与n的夹角6,所以这柱体 的高为cose,体积为 Alices6=Av·n 从而,单位时间内经过这区域流向m所 指一侧的液体的质量为 P=p4v·n. 返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics n  v   A S A 例3 设液体流过平面S上面积为A的一个区域，液体在这区域 上各点处的流速均为（常向量）v.设n为垂直于S的单位向量， 计算单位时间内经过这区域流向n所指一侧的液体的质量P （液体的密度 为  ）. 解 单位时间内流过这区域的液体组 成一个底面积为A、斜高为 的斜 柱体.这柱体的斜高与底面的垂线的 夹角就是v与n的 夹角 , 所以这柱体 的高为 , 体积为 v   v cos  Av cos Av n.     =  从而, 单位时间内经过这区域流向n所 指一侧的液体的质量为 P Av n.   =   返回