⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第八节函数的连续性与间断点 函数的连续性 函数的间断点 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第八节 函数的连续性与间断点 一、 函数的连续性 二、 函数的间断点 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 函数的连续性 1.增量 设变量u从它的一个初值1变到终值u2,终值与初值的差 u2-u1,叫做变量u的增量,记作△u,即△u=l2-u1 增量可以是正的,也可以是负的.当△u为正时,变量u 从u1变到u21+△u时是增大的;当△为负时,变量u从 u1变到u2=1+△时是减小的 2连续 定义1设函数y=x)在点x0的某一邻域内有定义,如果当自变 量的增量Ax=xx趋于零时,对应的函数的增量 A=f(x+△x)-f(x) 也趋于零,那末就称函数y=x)在点x连续
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、函数的连续性 1.增量 设变量u从它的一个初值u1变到终值u2,终值与初值的差 u2-u1,叫做变量u的增量，记作Δu，即Δu = u2-u1 增量可以是正的，也可以是负的. 当Δu为正时，变量u 从u1变到u2=u1+Δu时是增大的；当Δu为负时，变量u从 u1变到u2=u1+Δu时是减小的. 2.连续 定义1 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果当自变 量的增量Δx=x-x0 趋于零时，对应的函数的增量 Δy=f(x0+Δx) - f(x0 ) 也趋于零，那末就称函数y=f(x)在点x0连续
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义2设函数=fx)在点xo的某一邻域内有定义,如果 im∫(x)=f(x0)那么就称函数fx)在点x连续 函数f(x)连续的E-08"语言表达如下:f(x)在点x处连续 台→E>0,308>0,使当x-xl<6,有f(x)-f(x)<6 下面说明左连续与右连续的概念: 如果imf(x)=f(x)存在且等于(x)脚f(x)=f(x0) x-x 就说函数(x)在点x左连续如果imf(x)=f(x)在 x→x 且等于f(x)f(x)=f(x0,就说函数(x)在点x右连续
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义2 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果 ( ) ( ) 那么就称函数f(x)在点x0连续. lim 0 0 f x f x x x = → − − − 0, 0, , ( ) ( ) ( ) " " : ( ) 0 0 0 x x f x f x f x f x x 使 当 有 函 数 连续的 语言表达如下 在 点 处连续 下面说明左连续与右连续的概念: 且等于 即 就说函数 在 点 右连续 就说函数 在 点 左连续 如 果 存 在 如 果 存在且等于 即 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ; lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 f x f x f x f x x f x x f x f x f x f x f x f x f x x x x x = = = = + + → − − → + −
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续,如果区间包括端点,那么函数在 右端点连续是指右连续,在左端点连续是指左连续 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 我们曾经证明: (1)有理整函数在区间-∞+0)内是连续的 (2)有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的 作为例子我们来证明函数ysin在区间(+∞)内是连续的 设x是区间-∝,+∞纳任意取定的一点当x有增量△时, 对应的函数增量为 △y=sin(x+△x)-sinx
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数, 或者说函数在该区间上连续,如果区间包括端点,那么函数在 右端点连续是指右连续,在左端点连续是指左连续. 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 我们曾经证明: (2)有理分式函数在其定义域内的每一点都是连续的。 (1)有理整函数在区间 (−,+) 内是连续的 作为例子,我们来证明,函数y=sinx在区间 (− ,+) 内是连续的 对应的函数增量为 设x是区间(− ,+ )内任意取定的一点,当x有增量x时, y = sin( x + x) − sin x
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 由三角公式有 sin(x+ax)sin x= 2sin--cos(x+) 2 △v ∴cos(x <1 2 ∴Ay=sim(x+△x)-sinx≤2sim 2 对于任意的角度a当a≠0时,有ima<a, 0≤Ay=im(x+△x)-sinx<△x 因此当Δx→0时,由夹逼准则得Ay→0 即证明了y=sn对于任意的∈(-a,+∞层是连续的 类似的可以证明函数=cosx在区间-∝,+∝是连续的 返叵 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 由三角公式有 2 sin( ) sin 2 sin ) 1 2 cos( ) 2 cos( 2 sin( ) sin 2sin x y x x x x x x x x x x x = + − + + + − = 即证明了 对于任意的 ( )是连续的 因 此 当 时 由夹逼准则得 对于任意的角度 当 时 有 = − + → → = + − sin , , 0 , 0 0 sin( ) sin , 0 , sin , y x x x y y x x x x 类似的可以证明,函数y = cos x在区间(− ,+ )内是连续的 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、函数的间断点 1定义设函数fx)在点x的某去心邻域内有定义,如果函数 ∫(x)有下列三种情形之 (1)在x=x0没有定义; (2)虽在x=x有定义,但limf(x)不存在; x→>xo (3)虽在xx有定义,且Iimf(x)存在,但imf(x)≠f(xn) 则函数f(x)在点x为不连续,而点x称为函数/(x)的不连续点或 间断点 例1正切函数=anx在x=乙处没有定义所以点x=xt 2 2 是函数y=tanx的间断点
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、函数的间断点 1定义 设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数 f(x)有下列三种情形之一： (1)在x=x0没有定义； (2)虽在x= x0有定义，但 不存在； (3)虽在x= x0有定义，且 存在,但 则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或 间断点. lim ( ) 0 f x x→x lim ( ) 0 f x x→x lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x → 例1 tan . 2 , , 2 tan 是函数 的间断点 正切函数 在 处没有定义所 以 点 y x y x x x = = = =
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics ∵ lim tan x=∝C x→ 2 我们称飞=为函数tanx的无穷间断点 例2函数y=sin在点x=0没有定义当x→Q时, 函数值在-1与+1之间变动无限多次下图所示 ∴点x=0称为函数=sin的振荡间断点 y=sIn x X 0.5
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics = → x x lim tan 2 例2 点 称为函数 的振荡间断点 函数值在 与 之间变动无限多次下图所示 函 数 在 点 没有定义当 时 x x y x x x y 1 0 sin 1 1 ( ) 0 ; 0 , 1 sin = = − + = = → x y 1 = sin 我们称x 为函数tan x的无穷间断点 2 =
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3函数y= 在点x=1没有定义所以函数在点=1为 x-1 不连续但这里im =lim(x+1)=2 x→1x-1x→y1 如果补充定义:令x=时y=2,则所给函数在=1成为连续 所以,x=1称为该函数的可去间断点 x,x≠1 例4函数y=f(x)={1 x=1 lim f(x)=limx=1,Xf( x→1 2 im∫(x)≠∫(1 x→1 所以点x=1是函数f(x)的间断点如果改变函数(x) 在x=1处的定义:令f(1)=1,则f(x)在x=1成为连续 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 所 以 称为该函数的可去间断点 如果补充定义 令 时 则所给函数在 成为连续 不连续 但这里 函 数 在 点 没有定义 所以函数在点 为 , 1 : 1 2, 1 lim( 1) 2 1 1 , lim 1 , 1 1 1 1 2 1 2 = = = = = + = − − = = − − = → → x x y x x x x x x x x y x x 例4 在 处的定义 令 则 在 成为连续 所 以 点 是函数 的间断点如果改变函数 又 函 数 1 : (1) 1, ( ) 1 , 1 ( ) ( ) lim ( ) (1) 2 1 lim ( ) lim 1, (1) 1 2 1 , 1 ( ) 1 1 1 = = = = = = = = = = → → → x f f x x x f x f x f x f f x x f x x x y f x x x x
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 所以,C=1也称为该函数的可去间断点 例5函数 x-1x0 当x→>0,limf(x)=lim(x-1)= x→0 x→>0 lim f(x)=im(x+1) x→0+ x→0 左极限与右极限虽都,当不相等故极限lmf(x) x→>0 不存在所以点x=0是函数f(x)间断点
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 所以,x=1也称为该函数的可去间断点 例5 函数 + = − = 1 0 0 0 1 0 ( ) x x x x x f x 0, lim ( ) lim ( 1) 1 0 0 → = − = − → − → − x f x x x x 当 lim ( ) lim ( 1) 1 0 0 = + = → + → + f x x x x , 0 ( ) . , , lim ( ) 0 不存在 所以点 是函数 的间断点 左极限与右极限虽都存在 当不相等 故极限 x f x f x x = →
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 因为y=f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象,我们称=0为 函数fx)的跳跃间断点 间断点 第一类间断点可去间断点(左右极限等) 跳跃间断点(左右极陈在,但不相等 第二类间断无穷间断点极限为无穷的间断点 振荡间断点 注左右极限都存在的间断点为第类间断点 不是第一类间断点的任何间断点为第二类间断点 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 因为y=f(x)的图形在x=0处产生跳跃现象,我们称x=0为 函数f(x)的跳跃间断点 间断点 振荡间断点 无穷间断点极限为无穷的间断点 第二类间断点 跳跃间断点（左右极限存在，但不相等） 可去间断点（左右极限相等） 第一类间断点 ( ) 左右极限都存在的间断点为第一类间断点. 不是第一类间断点的任何间断点为第二类间断点. 注 返回