⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一章函数与极限 第一节映射与函数 第二节数列的极限 第三节函数的极限 第四节无穷小与无穷大 第五节极限运算法则 第六节极限存在准则两个重要极限
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 第二节 数列的极限 第三节 函数的极限 第四节 无穷小与无穷大 第五节 极限运算法则 第六节 极限存在准则 两个重要极限
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第七节无穷小的比较 第八节函数的连续性与间断点 第九节连续函数的运算与初等函数的连续性 第十节闭区间上连续函数的性质
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第七节 无穷小的比较 第八节 函数的连续性与间断点 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第十节 闭区间上连续函数的性质
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节映射与函数 集合 二、映射 、函数 返回 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节 映射与函数 一、 集合 二、 映射 三、 函数 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、集合 1.集合概念 (1)集合:具有某种特定性质的事物的总体 集合的元素通常用A,B,S,T等表示 元素:组成这个集合的事物 集合的元素通常用a,b,x,J等表示 集合与元素之间的关系a∈M:若x是集合的元素; agM:若x不是集合的元素 集合分为有限集和无限集. (2)集合的表示法 列举法:将集合的元素一一列举出来, N={1,2,3,…} A=a, b, c, dy 描述法:M={xx具有性质P如:B={x|x2-1=0}
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、集合 集合与元素之间的关系a∈M：若x是集合的元素； 1.集合概念 (1)集合：具有某种特定性质的事物的总体， 集合的元素通常用A，B，S，T 等表示. 元素: 组成这个集合的事物 集合的元素通常用a，b，x，y等表示. 集合分为有限集和无限集. a M: 若x不是集合的元素. (2)集合的表示法 列举法:将集合的元素一一列举出来, N = {1,2,3,} A = {a,b,c,d} 描述法: M = {x | x具有性质P} { | 1 0} 2 如: B = x x − =
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics (3)常用的集合记号 集合A∵:集合A内排除0的集 集合A:集合B内排除0与负数的集 N{全体自然数},Z{全体整数}, Q={全体有理数},R={全体实数} (4)集合的关系 如果x∈A,必有∈B,则称A是B的子集,记为AcB. 若AcB,且BcA,则称A与B相等,记为A=B 若AcB,且A≠B,则称A是B的真子集,记为4B 不含任何元素的集合,则称为空集记为Φ.Φ是任何集合的 子集
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics N={全体自然数}，Z={全体整数}， Q={全体有理数}，R={全体实数}. (3)常用的集合记号 如果 x A ，必有 x B ,则称A是B的子集，记为 A B. 不含任何元素的集合，则称为空集记为Φ. Φ是任何集合的 子集. (4) 集合的关系 集合 A :集合A内排除0的集. + 集合 A :集合B内排除0与负数的集. 若 A B ，且 A B ,则称A是B的真子集,记为 A . B 若 A B ，且 B A ,则称A与B相等,记为 A = B
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 2、集合的运算 设A、B是二个集合,定义 AUB={xx∈A或x∈B}(4与B的并集) A∩B={x∈A且x∈B}(4与B的交集) A\B={xx∈A且xB}(4与B的差集) 设表示我们研究某个问题的全体,则其他集合A都是的 子集称Ⅰ为全集或基本集 A的余集或补集记为:Ⅰ\A=AC 例如:在实数集R中A={x101}
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2、集合的运算 设A、B是二个集合，定义 A B = {x x A或x B} (A与B的并集) A B = {x x A且x B} (A与B的交集) A\ B = {x x A且x B} (A与B的差集) 设I表示我们研究某个问题的全体, 则其他集合A都是I的 子集,称I为全集或基本集. C A的余集或补集记为: I \ A = A 例如: 在实数集R中 A = {x 0 x 1} A = {x x 0 x 1} 则有 C 或
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 设A、B、C为任意三个集合,则有下列法则成立: (1)交换律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A (2)结合律(A∪B)C=A∪(B∪C (A∩B)nC=A∩(BC (3)分配律(A∪B)∩C=(A∩C∪(B∩C) (A∩B)C=(AUO∩(BUC (4)对偶律(4UB)=AC∩BC (A∩B)C=AC∪BC 以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设A、B、C为任意三个集合，则有下列法则成立： （1）交换律 A B = B A, A B = B A （2）结合律 (A B)C = A(B C) (A B)C = A(B C) （3）分配律 (A B)C = (AC)(B C) (A B)C = (AC)(B C) C C C （4）对偶律 (A B) = A B C C C (A B) = A B 以上这些法则都可以根据集合相等的定义验证
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 证明:两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集 证明:∵x∈(AB)→x∈AB→x函A且xgB →x∈A且x∈BC →x∈A∩B, (AUB)cA∩B; 反之,∵x∈A°∩B→x∈A且x∈B →xgA且xgB→xgA∪B →x∈(A∪B), A∩Bc(AUB)° 于是AC∩BC=(A∪B). 注:在以后的证明中,“→”表示“推出”(或“蕴含”分” 表示“等价
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证明:两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集. 证明: C x(A B) x AB x A 且 x B c x A 且 c x B , c c x A B ( ) ; c c c A B A B 反之, c c x A B x A 且 x B x AB ( ) , c x A B ( ) . C C c A B A B 注:在以后的证明中,“ ”表示“推出”(或“蕴含”), “ ” 表示“等价”. c x A 且 c x B 于是 ( ) . C C c A B = A B
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 直积或笛卡儿乘积 AxB={x,yx∈A且∈B 例如: RxR={xy)xeRy∈R} 为xOy面上全体点的集合,记为R2
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics A B = {{x, y} x A且y B} 直积或笛卡儿乘积 例如： R R = (x, y) x R, y R 为xOy面上全体点的集合，记为 . 2 R
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 3、区间和邻域 设a,b∈R,且<b, 开区间(an,b)={x|a<x< 闭区间[a,b]={x|a≤x≤b 半开区间(a,b={x|a<x≤b 和[,b)={x|a≤x<b 称a,b为区间的端点,称b-a为这些区间的长度 以上这些区间都称为有限区间 , (a,b) o a b
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 3、区间和邻域 O a b [a,b] 设a,b∈R,且a<b, 开区间 (a,b) = {x | a x b} 闭区间 [a,b] = {x | a x b} 半开区间 (a,b] = {x | a x b} 和 [a,b) = {x | a x b} 称a,b为区间的端点，称b－a为这些区间的长度. 以上这些区间都称为有限区间. (a,b) O a b