⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节函数的极限 、函数极限的定义 二、函数极限的性质 返回 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节 函数的极限 一、 函数极限的定义 二、 函数极限的性质 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 函数极限的定义 、自变量趋于有限值时函数的极限 定义1设函数f(x)在点x的某一去心邻域内有定义,如果存 在常数A,对于任意给定的正数e(不论它多么小),总存 在正数δ,使得当x满足不等式0A(x→>x0) 注 )e-8语言表述 E>0,36>0,当0<x-x<8时有f(x)-A<6 则lim∫(x)=A x→X
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 1、自变量趋于有限值时函数的极限 f x A x x = → lim ( ) 0 或 ( ) ( ) x A x x0 f → → 定义1 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存 在常数A ,对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存 在正数δ,使得当x 满足不等式0<|x－x0|<δ时，对应的函 数值f(x)都满足不等式，| f(x)－A|<ε那末常数A就叫做函 数f(x)当x→x0时的极限，记作 注 0, 0, 1） 语言表述 当 时有 则 − 0 x − x0 f (x) − A f x A x x = → lim ( ) 0 一、 函数极限的定义
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 2)0<x-x0表示x≠x,x→x时f(x)有无极限与 f(x)有无定义没有关系 3)E任意给定后,才能找到δ,δ依赖于E,且δ=(δ) E越小,δ越小 4)δ不唯一,也不必找最大的,只要存在即可
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2） 表示 时 有无极限与 有无定义没有关系. 0 x − x0 0 0 x x , x → x ( ) x0 f f ( x) 3） 任意给定后，才能找到 ， 依赖于 ，且 越小， 越小. = ( ) 4） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 几何意义如果函数fx)当xx时极限为A,以任意给定 正数E,作两条平行于x轴的直线=4+和y=A-存在点x0的δ 邻域(xro,xa+δ),当x在邻域(xr,x0+δ内,但xx时,曲线 yfx)上的点(x:fx)都落在两条平行线之间。 y=∫(x) A+e A A-e 0 x0-6x0x+8 x
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics y = f (x) A− A+ A x0 − x0 x0 + x y o 几何意义 如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一 正数ε,作两条平行于x轴的直线y=A+ε和y=A-ε,存在点x0的δ 邻域(x0 -δ, x0+δ),当x在邻域(x0 -δ, x0+δ)内,但x≠x0时,曲线 y=f(x)上的点(x,f(x))都落在两条平行线之间
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1证明IimC=C,(C为常数) 证ⅤE>0,38>0,当00,取δ=6, 当0<x-x0<8=E时, f(x)-A=x-x0<E成立, limx= x 0 x→x0
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics lim . 0 C C x x = → lim . 0 0 x x x x = → 例1 lim , 0 C C x x = → 证明 (C为常数) 证 0, 0, 当 − 时, 0 x x0 f (x) − A = C − C = 0 成立, 例2 lim . 0 0 x x x x = → 证明 证 ( ) , x A x x0 f − = − 0, 取 = , − = 当 0 x x0 时, 0 f (x) − A = x − x 成立
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3让明m2z2 证函数在点x=1处没有定义 2 ∫(x)-A 2=x-1VE>0 x-1 要使∫(x)-A<6,只要取δ=6, 当0<x-x0<6时,就/+2-1 <a lim =2
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证 函数在点x=1处没有定义. 2 0, 1 1 ( ) 2 − − − − = x x f x A = x − 1 2. 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 例3 2. 1 1 lim 2 1 = − − → x x x 证明 要使 f (x) − A , 只要取 = , 当 0 x − x0 时, 2 , 1 1 2 − − − x x 就有
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4当x0>0时,im√x=√x0 证/(x)-4=x-√x r- x-x 0,要使∫(x)-4<, 只要x-x0<√x0且不取负值 取δ=mn(x0,√x0e}, 当0<x-x<6时,就有x-√x<E, lim√x=√x0 x-x
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics lim . 0 0 x x x x = → 证 0 f (x) − A = x − x 0 0 x x x x + − = , 0 0 x x − x 例4 lim . 0 0 x x x x = → 当 x0 0 时, 0, 要使 f (x) − A , min{ , }, 0 0 取 = x x , 0 当 − 时, 就有 x − x 0 x x0 只要 且不取负值. x − x0 x0
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 左极限和右极限 当自变量x从x的左(或右)侧趋于x时,函数f(x)有极限A, 则称为函数fx)当x→x0时的左(右)极限,记作 lim f(x)=A Ef(xo-0=A((o+0)=A) x→xa-0 (x→>x0+0) 结论:函数(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限 与右极限均存在且相等,即 lim f(x=Aef(xo-0=f(ro+0)=A x→x
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 结论: 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限 与右极限均存在且相等，即 左极限和右极限 当自变量x从x0的左(或右)侧趋于x0时，函数f(x)有极限A， 则称A为函数f(x)当x→x0时的左(右)极限，记作 f x A x x x x = → + → − lim ( ) ( 0) 0 0 0 或 ( 0) ( ( 0) ) f x0 − = A f x0 + = A = → f x A x x lim ( ) 0 f (x0 − 0) = f (x0 + 0) = A
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例5函数 x-1,x0 当x→0时f(x)的极限不存在 证当x→0时∫(x)的左极限 imf(x)=im(x-1)=-1, x→0 而右极限 lim f(x)=lim(x+1=1, →0 x→>0 因为左极限和右极限存在但不相等,所以imf(x)不存在 x→0
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例5 函数 + = − = 1 , 0 0 , 0 1 , 0 ( ) x x x x x f x 当 x →0 时 f ( x) 的极限不存在. 证 当 x →0 时 f ( x) 的左极限 lim ( ) lim ( 1) 1, 0 0 = − = − → − → − f x x x x 而右极限 lim ( ) lim ( 1) 1, 0 0 = + = → + → + f x x x x 因为左极限和右极限存在但不相等,所以 ( ) 不存在. lim 0 f x x→ y O x y = x + 1 y = x − 1 -1 1
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 注:分段函数分点处的极限,要分别求左极限和右极限 小结 证明函数极限不存在的方法是 (1)证明左极限与右极限至少有一个不存在 (2)或证明左极限和右极限均存在,但不相等
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 小结 注：分段函数分点处的极限，要分别求左极限和右极限. 证明函数极限不存在的方法是: (1)证明左极限与右极限至少有一个不存在 (2)或证明左极限和右极限均存在, 但不相等