天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第七章 空间解析几何与向量代数（7.4）空间曲线及其方程

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 二、空间曲线的参数方程 空间曲线在坐标面上的投影 返回 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节 空间曲线及其方程 一、空间曲线的一般方程 二、 空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作两个曲面的交线设 (x,yx)=0和G(x,y,d)=0 是两个曲面的方程,它们的交线为C(图7-44 因为曲线C上的任何点的坐标应 同时满足这两个曲面的方程, 所以应满足方程组 S F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0 图7

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 空间曲线可以看作两个曲面的交线. 设 一、空间曲线的一般方程 F(x, y,z) = 0 和 G(x, y,z) = 0 是两个曲面的方程,它们的交线为C(图7-44). ( )  ( )   = = , , 0. , , 0, G x y z F x y z (1) 因为曲线C上的任何点的坐标应 同时满足这两个曲面的方程, 所以应满足方程组 x o z y S1 S2 C 图7-44

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 反过来如果点M不在曲线C上,那么它不可能同时在两个曲 面上,所以它的坐标不满足方程组(1).因此,曲线C可以用方 程组(1)来表示方程组(1)叫做空间曲线C的一般方程 例1方程组 x2+y2=1, 2x+3z=6 表示怎样的曲线? 解方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面,其 准线是xOy面上的圆,圆心在原点O,半径为1 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面,由于 它的准线是Ox面上的直线,因此它是一个平面

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 方程组    + = + = 2 3 6 1, 2 2 x z x y 表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 其 准线是xOy面上的圆, 圆心在原点O,半径为1. 反过来,如果点M不在曲线C上, 那么它不可能同时在两个曲 面上, 所以它的坐标不满足方程组(1). 因此, 曲线C可以用方 程组(1)来表示. 方程组(1)叫做空间曲线C的一般方程. 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面, 由于 它的准线是zOx面上的直线, 因此它是一个平面

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线如图7-45所示 图7-45

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线, 如图7-45 所示. 图7-45 x y z O

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2方程组 Z=va-x-y t y 2 表示怎样的曲线? 解方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O,半径为a 的上半球面 第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面,它的准线是xOy 面上的圆这圆的圆心在点,0,半径为 2 返回 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 方程组             + =      − = − − 2 2 2 2 2 2 2 2 , a y a x z a x y 表示怎样的曲线? 解 方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O, 半径为a 的上半球面.       ,0 2 a , 半径为 2 a 第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面, 它的准线是xOy 面上的圆, 这圆的圆心在点 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、空间曲线的参数方程 空间曲线C的方程除了一般方程之外,也可以用参数形式表示, 只要将C上动点的坐标x,y,z表示为参数的函数: y=y 当给定=时,就得到C上的一个点x1,y1,z) 随着t变动便可得曲线C上的全部点 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、空间曲线的参数方程 空间曲线C的方程除了一般方程之外, 也可以用参数形式表示, 只要将C上动点的坐标x，y，z表示为参数t的函数: ( ) ( ) ( )      = = = . , , z z t y y t x x t (2) 当给定 1 t = t 时,就得到C上的一个点 ( ) 1 1 1 x , y ,z 随着t的变动便可得曲线C上的全部点. 方程组(2)叫做空间曲线的参数方程

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3如果空间一点M在圆柱面x2+y2=a2上以角速度O 绕轴旋转,同时又以线速度沿平行于z轴的正方向上升(其 中O,v都是常数,那么点M构成的图形叫做螺旋线试建立 其参数方程. 解取时间t为参数设当t=0时, 动点位于x轴上的一点(a,0,0 处经过时间t动点由A运动到 M(x,y,z)图747) . toto s 图7-47

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 都是常数), 那么点M构成的图形叫做螺旋线. 试建立 例3 如果空间一点M在圆柱面 2 2 2 x + y = a 上以角速度  绕z轴旋转, 同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其 中 , v 其参数方程. 解 取时间t为参数. 设当 t = 0 时, A(a,0,0) 处. 经过时间t, 动点由A运动到 M(x, y,z) (图7-47). 动点位于x轴上的一点 A • M M t x y z o 图7-47 h

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 记M在xOy面上的投影为M,M的坐标为x,y, 由于动点在圆柱面上以角速度O绕轴旋转,所以经过时间t, ∠AOM=at 从而x= OM cos∠AOM= a a, y= OMin∠AOM′= asina 由于动点同时以线速度沿平行于轴的正方向上升,所以 z=MM=w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 记M在xOy面上的投影为 M , M 的坐标为 x, y,0. 由于动点在圆柱面上以角速度  绕z轴旋转, 所以经过时间t, AOM =t y = OM sinAOM = a sint. 从而 x = OM cosAOM = a cost, 由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升, 所以 z = MM = vt

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 因此螺旋线的参数方程为 x= a cos ot y=asin at, Z= wt. 也可以用其他变量作参数;例如令 =or,则螺旋线的参数方程可写为 x= acos 6, y=asin 8, z=b6. 这里b=-,而参数为6

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 因此螺旋线的参数方程为      = = = . sin , cos , z vt y a t x a t   也可以用其他变量作参数; 例如令  =t , 则螺旋线的参数方程可写为      = = = . sin , cos ,    z b y a x a 这里  v b = , 而参数为 

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 螺旋线是实践中常用的曲线例如,平头螺丝钉的外缘曲线 就是螺旋线当我们拧紧平头螺丝钉时,它的外缘曲线上的 任一点M,一方面绕螺丝钉的轴旋转,另一方面又沿平行于 轴线的方向前进,点M就走出一段螺旋线 螺旋线有一个重要性质:当6从6变到6+a时,由b0 变到b6+ba 这说明当OM转过角a时,M点沿螺旋线上升了高度ba, 即上升的高度与OM转过的角度成正比 特别是当OM转过一周,即a=2x时,M点就上升固定的 高度h=2z这个高度h=2在工程技术上叫做螺距

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 螺旋线是实践中常用的曲线. 例如, 平头螺丝钉的外缘曲线 就是螺旋线. 当我们拧紧平头螺丝钉时, 它的外缘曲线上的 任一点M, 一方面绕螺丝钉的轴旋转, 另一方面又沿平行于 轴线的方向前进, 点M就走出一段螺旋线. 螺旋线有一个重要性质: 当  从  0 变到 0 + 时,z由  0 b 变到 b 0 + b 特别是当 OM 转过一周, 即  = 2 时, M点就上升固定的 高度 h = 2b. 这个高度 h = 2b 在工程技术上叫做螺距. 这说明当 OM 转过角  时,M点沿螺旋线上升了高度 b 即上升的高度与 OM 转过的角度成正比.