⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第十节闭区间上连续函数的性质 、有界性与最大值最小值定理 、零点定理与介值定理 、一致连续性 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第十节 闭区间上连续函数的性质 一、有界性与最大值最小值定理 二、零点定理与介值定理 三、一致连续性 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 如果函数(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b左连续, 在左端点a右连续那么函数(x)就是在闭区间|a,1 上连续的 、有界性与最大值最小值定理 定义对于在区间/上有定义的函数f(x) 如果有x∈,使得对于任x∈I都有 f(x)sf(o) (f(x)>f(xo) 则称∫(x0)是函数f(x)在区间/上的最大小值
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 如果函数f(x)在开区间(a,b)内连续,在右端点b左连续, 在左端点a右连续,那么函数f(x)就是在闭区间[a,b] 上连续的 一、有界性与最大值最小值定理 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ( ) ( )) , ( ), 0 0 0 0 则 称 是函数 在区间 上的最大小 值 如果有 使得对于任一 都 有 对于在区间 上有定义的函数 f x f x I f x f x f x f x x I x I I f x 定义
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理1(有界性与最大值最小值定理)在闭区间上连续 的函数有界且一定有最大值和最小值 若f(x)∈C|a,b 则彐1,2∈[,b y=f(x) 使得Ⅵx∈{a,b 有f(1)≥f(x), f∫(42)≤S∫(x) 注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立; 2.若区间内有间断点,定理不一定成立 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理1(有界性与最大值最小值定理) 在闭区间上连续 的函数有界且一定有最大值和最小值. ( ) ( ). ( ) ( ), [ , ], , [ , ], ( ) [ , ], 2 1 1 2 f f x f f x x a b a b f x C a b 有 使 得 则 若 x y o y = f (x) 注意:1.若区间是开区间, 定理不一定成立; 2.若区间内有间断点, 定理不一定成立. 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、零点定理与介值定理 定理2(零点定理)设函数f(x)在闭区间[b]上连 续,且f(a)与f(b)异号(即f(a)·f(b)<0),那末在开 区间(a,b)内至少有函数f(x)的一个零点即至少有 点ξ(a<ξ<b),使∫(ξ)=0 几何解释: 连续曲线弧y=f(x)的两个 y=f(x) 端点位于轴的不同侧则曲 线弧与x轴至少有一个交点
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、零点定理与介值定理 定理 2(零点定理) 设函数 f (x)在闭区间 a,b 上连 续，且 f (a)与 f (b)异号(即 f (a) f (b) 0),那末在开 区间(a,b)内至少有函数 f (x)的一个零点,即至少有一 点 (a b)，使 f () = 0. 几何解释: . , ( ) 线弧与 轴至少有一个交点 端点位于 轴的不同侧则 曲 连续曲线弧 的两个 x x y = f x x y o y = f (x)
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理4(介值定理)设函数f(x)在闭区间[a,]上连 续,且在这区间的端点取不同的函数值 f∫(a)=A及f(b)=B, 那末,对于A与B之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内 至少有一点ξ,使得∫(引)=C(a<ξ<b) 证设叫(x)=f(x)-C,卩 则(x)在a,b上连续 v=( 且g(a)=f(a)-C A-C P(b)=f(b)-C=B-C, tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理 4(介值定理) 设函数 f ( x)在闭区间 a,b 上连 续，且在这区间的端点取不同的函数值 f (a) = A 及 f (b) = B, 那末，对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内 至少有一点，使得 f ( ) = C (a b). x y o y = f (x) 证 设(x) = f (x)−C, 则(x)在[a,b]上连续, 且(a) = f (a) − C = A − C, (b) = f (b) − C = B − C
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics q(a)·q(b)<0,由零点定理,三∈(a,b,使 q(5)=0,即p(2)=f(2)-C=0,;∫(2)=C. 几何解释连续曲线弧y=f(x)与水平直线v=C至少 有一个交点 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与 最小值m之间的任何值
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics (a)(b) 0, 由零点定理, (a,b),使 ( ) = 0,即( ) = f ( ) − C = 0, f ( ) = C. 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与 最小值m之间的任何值. 几何解释: 连续曲线弧y = f (x)与水平直线y = C至少 有一个交点
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1证明方程x3-4x2+1=0在区间(0,1)内 至少有一根 证令f(x)=x3-4x2+1,则f(x)在[,上连续, 又∫(0)=1>0,∫(1)=-2<0,由零点定理, Bξ∈(a,b),使∫(5)=0,即E3-42+1=0, 方程x3-4x2+1=0在(0,1)内至少有一根 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证 ( ) 4 1, 3 2 令 f x = x − x + 则f (x)在[0,1]上连续, 又 f (0) = 1 0, f (1) = −2 0, 由零点定理, (a,b), 使 f ( ) = 0, 4 1 0, 3 2 即 − + = 4 1 0 (0,1) . 3 2 方程x − x + = 在 内至少有一根 返回 . 4 1 0 (0,1) 3 2 至少有一根 例1 证明方程 x − x + = 在区间 内
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 三、一致连续性 定理4(一致连续性定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b上连续, 那么它在该区间上一致连续 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 三、一致连续性 定理4(一致连续性定理) 如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续, 那么它在该区间上一致连续. 返回