⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节数列的极限 数列极限的定义 二、收敛数列的性质 返回 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节 数列的极限 一、 数列极限的定义 二、 收敛数列的性质 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、数列极限的定义 概念的引入 割圆术: “割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不 可割,则与圆周合体而无所失矣” 刘徽
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、数列极限的定义 割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不 可割，则与圆周合体而无所失矣” ——刘徽 概念的引入
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 正六边形的面积A1 正十二边形的面积A2 R 正6×2n-1形的面积 n 942439 19 S
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics R 正六边形的面积 A1 正十二边形的面积 A2 正 6 2 n−1 形的面积 An A1 , A2 , A3 , , An , S
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 数列的概念 定义:如果按照某一法则对每个n∈N对应着一个确定 的实数,,这些实数按照下标n从小到大排列得到的 个序列 1~2~3 n 就叫做数列简记为数列{xn} 数列中的每一个数叫做数列的项,第n项xn叫做数列的 一般项 例如 2,4,8,…,2n,…;{"} 1111 2482 2
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 数列的概念 定义:如果按照某一法则,对每个 ,对应着一个确定 的实数 ,这些实数 按照下标n从小到大排列得到的一 个序列 + n N n x n x x1 , x2 , x3 , xn , 就叫做数列,简记为数列 xn . 数列中的每一个数叫做数列的项，第n项 叫做数列的 一般项. n x 例如 2,4,8, ,2 , ; n , ; 2 1 , , 8 1 , 4 1 , 2 1 n {2 } n } 2 1 { n
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics n+1 n+1 9-9 14n+(-1) n+(-1) 23 注意:数列对应着数轴上一个点列可看作一动点在 数轴上依次取x1,x2,…,xn;… 2 n 2数列是整标函数xn=∫(n),n∈N
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 1, 1,1, ,( 1) , ; − − n+1 {( 1) } +1 − n , ; ( 1) , , 3 4 , 2 1 2, 1 n n n− + − } ( 1) { 1 n n n− + − 注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在 数轴上依次取 , , , , . x1 x2 xn 1 x3 x x2 4 x n x 2.数列是整标函数 x f (n), n = . + n N
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 数列的极限 观察数列{+ 当n→时的变化趋势. 题:当n无限增大时,是否无限接近于某一确定的 数值?如果是如何确定? 通过观察: 当n无限增大时,=1+(-1) 无限接近于1 问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 问题:当 无限增大时, 是否无限接近于某一确定的 数值?如果是,如何确定? n n x 问题: “无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它. 通过观察: n x n n 1 ( 1) 1 − − 当n无限增大时, = + 无限接近于1. 数列的极限 观察数列 } ( 1) {1 1 n n− − + 当 n→ 时的变化趋势
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 给定 由 只要n>100时,有xn-1 100 n100 100 给定 1000 ,只要n>10010xn-11000时,有xn-10,只要n>N(=[时,有xn-1<8成立
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics , 100 1 给定 , 100 1 1 n 由 只要 n 100时, , 100 1 有 xn − 1 , 10000 1 , 有 xn − 1 10000 1 给定 只要 n 10000时, , 1000 1 给定 只要 n 1000时, , 1000 1 有 xn − 1 给定 0, ]) , 1 只要 ( [ 时 n N = 有 − 1 成立. xn xn − 1 = n n n 1 1 ( 1) 1 − = −
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义:设{xn}为一数列,如果存在常数a,对于任意给定 的正数E(不论它多么小),总存在正整数N,使得当n>N 时,不等式xn-aa(n→∞) n→0 如果数列没有极限,就说数列是发散的 注意: 1.ε具有任意给定性,它是描述xn与a的无限接近程度 2.N与8有关,且不唯
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定 义: 设{ xn }为一数列，如果存在常数a，对于任意给定 的正数(不论它多么小),总存在正整数N ,使得当n N 时，不等式 x − a n 都成立, 那么就称常数a 是数列 { xn }的极限,或者称数列{ xn }收敛于a,记为 lim x a, n n = → 或x → a (n → ). n 注意： 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 1.ε具有任意给定性，它是描述 xn 与 a 的无限接近程度. 2. N 与ε有关，且不唯一
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 几何解释 28 -8 +8 000O N+1 N+2 当n>N时,所有的点xn都落在开区间a-E,a+E,只 有有限个(至多只有N个落在这区间以外 E-N定义:imxn=a冷 a>0,N>0,使n>N时恒有xn-a<E 其中:任给的或每一个;:存在或至少有一个 注意:数列极限的定义未给出求极限的方法定义
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics x 1 x 2 x xN +1 xN +2 3 x 几何解释: 2 a − a + a 当 n N 时,所有的点 xn 都落在开区间 (a − , a + ) ,只 有有限个(至多只有N个)落在这区间以外. 其中 : 任给的或每一个; : 存在或至少有一个. = → xn a n − N 定义: lim 0,N 0, 使 n N 时, x − a . 恒有 n 注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.定义
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1证明数列 143n+(-1) 234 的极限是1 n+(-1) 证 为了使xn-a小于任意给定的正数只要 所以,vE>0,取N=[,则当n>M时,就有 8 n+(-1) 1<E 即lmnn+(-1)=1
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证 xn − a 1 ( 1) 1 − + − = − n n n n 1 = − + − − 1 ( 1) 1 n n n 例1 证明数列 , ( 1) , , 4 3 , 3 4 , 2 1 2, 1 n n n− + − 的极限是1. , 1 n 为了使 xn − a 小于任意给定的正数 , 只要 , 1 或 n 所以, 0, ], 1 [ 取N = 则当 n N 时, 就有 1. ( 1) lim 1 = + − − → n n n n 即