⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节平面及其方程 平面的点法式方程 二、平面的一般方程 、两平面的夹角 返回 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节 平面及其方程 一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、平面的点法式方程 在本节和下一节里,我们将以向量为工具,在空间直角坐标 系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线 如果一非零向量垂直于一平面,这向量就叫做该平面的法线 向量.容易知道,平面上的任一向量均与该平面的法线向量 垂直 因为过空间任一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直 线,所以当平面上一点M(x2,y,a)和它的一个法线向量 n=(A,B,C为已知时,平面m的位置就完全确定了.下面我 们来建立平面的方程
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 在本节和下一节里，我们将以向量为工具，在空间直角坐标 系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线. 一、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线 向量. 容易知道，平面上的任一向量均与该平面的法线向量 垂直. 和它的一个法线向量 因为过空间任一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直 线，所以当平面II上一点 ( , , ) 0 0 0 M x y z o n = (A,B,C) 为已知时，平面Π的位置就完全确定了. 下面我 们来建立平面Π的方程
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 设M(x2yn,是平面一点(图7-51) 那么向量必与平面的法线向量n垂直,即 它们的数量积等于零: n*MM=0 由于n=(A,B,C) MnM=(x-x0,y-J,z-0),所以有:x A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-x)=0 这就是平面上任一点M的坐标x,y,所满足的方程 反过来,如果M(x,y,z不在平面上,那么向量MM 与法线向量n不垂直,从而n*M0M≠0,即不在平面上 的点M的坐标x,y,z不满足方程(1)
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设 ( , , ) 0 0 M x y z o 是平面II任一点(图7－51). 那么向量必与平面II的法线向量n垂直，即 它们的数量积等于零： * 0 n M0 M = 由于 n = (A,B,C) , A(x − x0 )+ B( y − y0 )+C(z − z0 ) = 0 (1) 这就是平面II上任一点M的坐标 x, y,z 所满足的方程. ( , , ) 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z ,所以有： n 反过来，如果 M(x, y,z) 不在平面II上,那么向量 M0 M 与法线向量 不垂直, 从而 n* M0 M 0 ,即不在平面II上 的点M的坐标x，y，z不满足方程(1). x y z o M0 M n
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 由此可知,平面I上的任一点的坐标x,y,z都满足方程(1); 不在平面I上的点的坐标都不满足方程(1).这样,方程(1) 就是平面的方程,而平面就是方程(1)的图形由于方程 (1)是由平面上的一点M0(x,y0,z及它的一个法线向量 n=(A,B,O)确定的,所以方程(1)叫做平面的点法式方程 例1求过点(2,-3,0)且以m=(1,-2,3)位法线向量的平面的方程 解根据平面的点法式方程(1),得所求平面的方程 (x-2)-2(y+3)+3z=0, x-2y+3z-8=0
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 及它的一个法线向量 由此可知，平面II上的任一点的坐标x，y，z都满足方程(1)； 不在平面II上的点的坐标都不满足方程(1). 这样，方程(1) 就是平面II的方程，而平面II就是方程(1)的图形. 由于方程 (1)是由平面II上的一点 ( , , ) 0 0 0 M x y z o n = (A,B,C) 确定的，所以方程(1)叫做平面的点法式方程. 例 1 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)位法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程(1)，得所求平面的方程 (x - 2) – 2(y + 3) + 3z=0, 即 x – 2y + 3z – 8=0
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2)和M3(0,2,3)的平面 的方程 解先找出这平面的法线向量n由于向量n与向量MM2 MM。都垂直,而M1M2=(3,4,-6,M1M3=(2,3,-1), 所以可取它们的向量积为n: n=M,M,×M,M 143 34-6 23-1 =14i+9j-k, 根据平面的点法式方程(1),得所求的平面的方程为 14(X-2)+9(y+1)-(z-4)=0, 14x+9 y Z-15=0. 返回 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 2 求过三点M1 (2, -1, 4), M2 (-1, 3, -2)和M3 (0, 2, 3)的平面 的方程. 解 先找出这平面的法线向量n. 由于向量n与向量 M1 M3 M1 M2 都垂直，而 M1 M2 ＝(-3, 4, -6), M1 M3 =(-2, 3, -1)， 所以可取它们的向量积为n： n= M1 M2 M1 M3 2 3 1 3 4 6 − − − − i j k = =14i + 9j – k, 根据平面的点法式方程(1)，得所求的平面的方程为 14(x - 2) + 9(y + 1) – (z – 4 ) = 0, 14x + 9y – z – 15 = 0. 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、平面的一般方程 由于平面的点法式方程()式x、y、z的一次方程,而任意平 面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任 平面都可以用三元一次方程来表示 反过来,设有三元一次方程 Ax By+ Cz +D=0 我们任取满足方程的一组数x0,y,,即 Ax0+Byo+ Czo+d=0 把上述两等式相减,得 A(xx0)+B(y-Jy0)+C(z-x0)=0. 把上述两等式的点法式方程(1)作比较,可以知道方程(4)是 通过点M(x0,y,动)且以n=(4,B,O为法线向量的平面方程但 方程(2)与方程(4)同解,这是因为由(2)减去3)即得(4),又由(4) 加上3)就得(2)由此可知,任一三元一次(2)的图形总是一个平 面
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、平面的一般方程 由于平面的点法式方程(1)式x、y、z的一次方程，而任意平 面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定，所以任一 平面都可以用三元一次方程来表示. 反过来，设有三元一次方程 Ax + By + Cz + D = 0. 我们任取满足方程的一组数x0 , y0 , z0，即 A x0 + B y0+ C z0 + D = 0. 把上述两等式相减，得 A(x-x0 ) + B(y- y0 ) + C (z-z0 ) = 0. 把上述两等式的点法式方程(1)作比较，可以知道方程(4)是 通过点M0 (x0 , y0 , z0 )且以n=(A, B, C)为法线向量的平面方程.但 方程(2)与方程(4)同解，这是因为由(2)减去(3)即得(4)，又由(4) 加上(3)就得(2). 由此可知，任一三元一次(2)的图形总是一个平 面
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 方程(2)称为平面的一般方程,其中x,y,z的系数就是该平面 的一个法线向量n的坐标,即=(A,B,O) 例如,方程3x-4y+z-9=0 表示一个平面,=(3,-4,1)是这平面的一个法线向量 对于一些特殊的三元一次方程,应该熟悉它们的图形的特点 当D=0时,方程(2)成为4x+By+Cz=0,它表示一个通过 原点的平面 当A=0时,方程(2)成为Bx+Cx+D=0,法线向量m(0,B,O) 垂直于x轴,方程表示一个平行于x轴的平面 同样,方程4x+Cz+D=0和4x+B+D=0,分别表示一 个平行于y轴和z轴的平面 当A=B=0时,方程(2)成为C+D=0或乙=-如,法线向量 n(0,0,O)同时垂直轴和y轴,方程表示一个平行于xOy面的 平面
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 方程(2)称为平面的一般方程，其中x, y, z的系数就是该平面 的一个法线向量n的坐标，即n=(A, B, C). 例如，方程 3x – 4y + z -9 = 0 表示一个平面，n=(3, -4, 1)是这平面的一个法线向量. 对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点. 当D=0时，方程(2)成为Ax + By + Cz = 0，它表示一个通过 原点的平面. 当A=0时，方程(2)成为Bx + Cz + D = 0，法线向量n(0, B, C) 垂直于x轴，方程表示一个平行于x轴的平面. 同样，方程Ax + Cz + D = 0和Ax + By + D = 0，分别表示一 个平行于y轴和z轴的平面. 当A=B=0时，方程(2)成为Cz + D=0或z=- C D n(0, 0, C)同时垂直x轴和y轴，方程表示一个平行于xOy面的 平面. ，法线向量
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3求通过x轴和点(4,-3,-1)的平面的方程 解由于平面通过x轴,从而它的法线向量垂直于x轴,于是 法线向量在x轴上的投影为零,即A=0;又由平面通过飞轴, 它必通过原点,于是D=0.因此可设这平面的方程为 By+ cz=0 又因这平面通过点(4,-3,-1),所以有 -3B-C=0, 或 C=-3B. 以此代入所设方程并除以B(B≠0,便得所求的平面方程为 3z=0
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 3 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 由于平面通过x轴，从而它的法线向量垂直于x轴，于是 法线向量在x轴上的投影为零，即A=0；又由平面通过x轴， 它必通过原点，于是D=0. 因此可设这平面的方程为 By + Cz = 0. 又因这平面通过点(4, -3, -1)，所以有 -3B – C = 0, 或 C = -3B. 以此代入所设方程并除以 B(B 0)，便得所求的平面方程为 y – 3z = 0
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(an,0,0)、Q(0,b,0)、 R(0,0,c)三点(图7-52),求这平面的方程(其中a≠0,b≠0, C≠0 解设所求平面的方程为 Ax t By+cz=0 因P(a,0,0)、Q(,b,0)、R(0,0,c)三点都在 这平面上,所以点P、Q、R的坐标都满足 y 方程(2);即有 aa+D=0 bB+d=0 CC+D=0 D b’CD D 得4=
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b,0)、 R(0, 0, c)三点(图7－52)，求这平面的方程(其中a 0, b 0, c 0). 解 设所求平面的方程为 Ax + By + Cz = 0 因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在 这平面上，所以点P、Q、R的坐标都满足 方程(2)；即有 + = + = + = 0, 0, a 0, cC D bB D A D 得A=- a D ，B=- b D ，C=- c D x y z o
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 以此代入2)并除以D(D≠0),便得所求的平面方程为 ×、 方程(叫做平面的截距式方程,而a、b、c依次叫做 平面在x、Jz轴上的截距 返回 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics + + = 1. c z b y a x 方程(5)叫做平面的截距式方程，而a、b、c依次叫做 平面在x、y、z轴上的截距. 返回 以此代入(2)并除以D(D 0)，便得所求的平面方程为