⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节隐函数及由参数方程所确定 的函数的导数相关变化率 隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导 数 、相关变化率 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节 隐函数及由参数方程所确定 一、隐函数的导数 二、由参数方程所确定的函数的导 数 三、相关变化率 的函数的导数 相关变化率 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 隐函数的导数 1复习:函数的表示法 1.直接表示: 解析式yf(x)x∈D,这样描述的函数称为显函数 2间接表示 (1)由一个方程F(x,y)=0所确定的函数 例x2+y2=1可确定函数y=±1-x2, (2)由两个方程确定(带一个中间变量)参数方程: ∫x=x() t是参数 y=y(t) 方法(1)表示的函数称为隐函数 把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、隐函数的导数 1 复习:函数的表示法 1.直接表示: 解析式 y=f(x) x∈D, 这样描述的函数称为显函数 2 间接表示 (1)由一个方程F(x,y)=0 所确定的函数 例 可确定函数 , (2)由两个方程确定(带一个中间变量)参数方程: t是参数 方法(1)表示的函数称为隐函数. 1 2 2 x + y = 2 y = 1− x = = ( ) ( ) y y t x x t 把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 2隐函数的定义 般地如果变量和满足一个方程Fxy)=0,在一定条件下 当x取某区间内的任一值时相应地总有满足这方程的唯一的 y值存在,那么就说方程F(xy)=0在该区间内确定了一个隐函 数 例1求由方程e+xy-e=0所确定的隐函数的导数 解我们把方程两边分别对x求导数,注意y=x), 方程左边对x求导得 d 小y e+xy-e=ety+x, d 方程右边对x求导得(0)=0 所以2中 ty+x 0
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2 隐函数的定义 一般地,如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下 当x取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的 y值存在,那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函 数 例1 求由方程 e + xy − e = 0 所确定的隐函数的导数 y dx dy 解 我们把方程两边分别对x求导数,注意y=y(x), 方程左边对x求导得 ( ) , dx dy y x dx dy e xy e e dx d y y + − = + + 方程右边对x求导得 (0) = 0 + + = 0 dx dy y x dx dy e 所以 y
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 从而 x+e)≠ d xx+e 注意:在这个结果中,分式中的y=y(x)是由方程”+xy-e=0 所确定的隐函数 例2求由方程y5+2y-x-3x=0所确定的隐函数=0处的 导数 x=0 解把方程两边分别对x求导,由于方程两边的导数相等, d 所以 5 +2-1-21x6=0 dx dx 由此得 dy 1+21x d5y+2 因为当x=0时,从原方程得y=0所以Ax==
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 从而 ( + ) 0) + = − y y x e x e y dx dy 注意:在这个结果中,分式中的y=y(x)是由方程 所确定的隐函数 e + xy − e = 0 y 例2 求由方程 所确定的隐函数x=0处的 导数 2 3 0 5 7 y + y − x − x = x=0 dx dy 因为当x=0时,从原方程得y=0,所以 2 1 = x=0 dx dy 解 把方程两边分别对x求导,由于方程两边的导数相等, 5 2 1 21 0 4 6 + − − x = dx dy dx dy y 由此得 5 2 1 21 4 6 + + = y x dx dy 所以
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3求椭圆x+=1在点2,33处的切线方程(图26 169 解由导数的几何意义知道所求切线的斜率为k=y1x2 椭圆方程的两边分别对x求导,有 ×3l 0 从而 dy 9x dx 16 3 当x=2时,y=3代入上式得 小y d 于是所求的切线方程为 y-,3=-=(x-2)即3x+4y-83=0
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 求椭圆 1 在点 处的切线方程(图2-6) 16 9 2 2 + = x y 3 2 3 2, 解 由导数的几何意义知道,所求切线的斜率为 =2 = x k y 椭圆方程的两边分别对x求导,有 0 9 2 8 + = dx dy y x 从而 y x dx dy 16 9 = − 当x=2时, 3 代入上式得 2 3 y = x=2 dx dy 4 3 = − 于是所求的切线方程为 ( 2) 4 3 3 2 3 y − = − x − 即 3x + 4 y − 8 3 = 0
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4求由方程x-y+1imy=0所确定的隐函数的二阶导数y d x 解应用隐函数的求导方法,得 +:cos y 0 d 2 于是 dx 2-cos 上式两边再对x求导得 2sin L 4si d' 2-coS y cOS 上式右端分式中的y=y(x)是由方程x-y+siny=0所确 定的隐函数
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4 求由方程 sin 0 所确定的隐函数的二阶导数 2 1 x − y + y = 2 2 dx d y 解 应用隐函数的求导方法,得 cos 0 2 1 1− + = dx dy y dx dy 于是 dx y dy 2 cos 2 − = 上式两边再对x求导,得 2 2 3 2 (2 cos ) 4sin (2 cos ) 2sin y y y dx dy y dx d y − − = − − = 上式右端分式中的y=y(x)是由方程 所确 定的隐函数 sin 0 2 1 x − y + y =
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 3.对数求导法 方法: 先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求 出导数 对数求导法 适用范围 多个函数相乘和幂指暾数u(x)的情形 下面通过例子来说明这种方法 例5设y=xn(x>0),求y 解等式两边取对数得lny= sinx Inx 上式两边对求导得
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 3. 对数求导法 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求 出导数. --------对数求导法 适用范围: ( ) . 多个函数相乘和幂指函数u x v( x) 的情形 下面通过例子来说明这种方法 例5 ( 0), . sin y x x y x 设 = 求 解 等式两边取对数得 ln y = sin x ln x 上式两边对x求导得
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics y=cosx·Inx+snx y= y(cos x In x+sinx·-) sInx sIn x (cos x Inx 一般地 ∫(x)=u(x) v(x) (u(x)>0) In f(x=v(x)Inu(x) 又∵,Inf(x) f(r)d va
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics x y x x x y 1 cos ln sin 1 = + ) 1 (cos ln sin x y = y x x + x ) sin (cos ln sin x x x x x x = + 一般地 ( ) ( ) ( ( ) 0) ( ) f x = u x u x v x ln f (x) = v(x)lnu(x) ( ) ( ) 1 ln ( ) f x dx d f x f x dx d 又 =
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics f(x)=f(x)·,lnf(x) d x f(r=u(x)lv(x).Inu(x)+ v(x)u(x) ux 幂指函数∫(x)=u(x)(u(x)>0)也可表示成 f∫( X=e v(x)Inu(x) 这样便可直接求得 f(x)=ep(x),lm(x)+形以的(x u(x) vru(x (x)xv(x) In u(x)+ ulr
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ( ) ( ) ln f (x) dx d f x = f x ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ln ( ) ( ) u x v x u x f x u x v x u x v x = + 幂指函数 ( ) ( ) ( ( ) 0) 也可表示成 ( ) f x = u x u x v x ( )ln ( ) ( ) v x u x f x = e 这样,便可直接求得 ] ( ) ( ) ( ) [ ( ) ln ( ) ( ) ( )l n ( ) u x u x f x e v x u x v x v x u x = + = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) ( ) u x v x u x u x v x u x v x
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics (x-1)(x-2) 例6求y= (x-3)(x-4) 的导数 解两边取对数(假定x4),得 y=n(x-1)+l(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4) 两边对x求导 J 2(x-1x-2x-3x-4 于是 2(x-1x-2x-3x-4
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例6 求 的导数 ( 3)( 4) ( 1)( 2) − − − − = x x x x y 两边对x求导 − − − − − + − = 4 1 3 1 2 1 1 1 2 1 1 x x x x y y 于是 解 两边取对数(假定x>4 ), 得 [ln( 1) ln( 2) ln( 3) ln( 4)] 2 1 ln y = x − + x − − x − − x − − − − − − + − = 4 1 3 1 2 1 1 1 2 x x x x y y