天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第十一章 无穷级数（11.1）常数项级数的概念与性质

通串2《学 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第十一章无穷级数 第一节常数项级数的概念和性质 第二节常数项级数审敛法 第三节幂级数 第四节函数展开成幂级数 第五节函数的幂级数展开式的应用 第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性 质第第数 七节傅立叶级数 八节一般周期函数的傅立叶级

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第十一章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质 第二节 常数项级数审敛法 第三节 幂级数 第四节 函数展开成幂级数 第五节 函数的幂级数展开式的应用 第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性 质第七节 傅立叶级数 第八节 一般周期函数的傅立叶级 数

通串2《学 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第一节常数项级数的概念与性质 常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节 常数项级数的概念与性质 一、常数项级数的概念 二、收敛级数的基本性质

通串2《学 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、常数项级数的概念 给定一个数列u1,u2,u3;…,n, 则由这数列构成的表达式1+n2+u3+…+un+ 叫做(常数项)无穷级数,记为∑an 其中第n项ln叫做级数的一般项

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 给定一个数列 则由这数列构成的表达式 叫做（常数项）无穷级数，记为 其中第 项 叫做级数的一般项。 u1 , u2 , u3 , , un , u1  u2  u3    un     n  1 u n n un 一、常数项级数的概念

通串2《学 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 级数收敛的概念 定义如果级数∑ln的部分和数列{Sn}有极限,即 n=1 imsn=S则称无穷级数∑u收敛,这时极限 S叫做这级数的和;如果∑un没有极限,则称 无穷级数∑nn发散。 n=1

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 级数收敛的概念 定义 如果级数 的部分和数列 有极限，即  n  1 u n s s n n   lim   n  1 u n   n1 un s { }n s 则称无穷级数 收敛，这时极限 无穷级数 发散。 叫做这级数的和；如果 没有极限，则称   n  1 u n

通串2《学 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例无穷级数∑m"=a+m+mq2+…+mg”+ 叫做等比级数(又称几何级数),其中a≠0,q 叫做级数的公比。试讨论此级数的收敛性。 例证明级数1+2+3+…+n+ 是发散的

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 无穷级数 叫做等比级数（又称几何级数），其中 叫做级数的公比。试讨论此级数的收敛性。          n n n aq a aq aq aq 2 0 a  0 , q 例 证明级数 1  2  3    n   是发散的

通串2《学 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1判定无穷级数 1.22·3 n(n+1) 的收敛性。 解 1 n(n+1)nn+1 S.=—+ 22.3 n(n+ 1) …十 nn+ n+1

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 判定无穷级数         ( 1) 1 2 3 1 1 2 1 n n 的收敛性。 解 , 1 1 1 ( 1) 1      n n n n un ( 1) 1 2 3 1 1 2 1        n n sn  1 1 ) 1 1 1 1 ) ( 3 1 2 1 ) ( 2 1 (1            n n n 

通串2《学 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 从而 limS=lim(、1 = n→0 n→0 n+1 所以这个级数是收敛的,它的和是1

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 从而 ) 1 1 1 lim lim(1       n s n n n 所以这个级数是收敛的，它的和是1

通串2《学 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 二、收敛级数的基本性质 性质1如果级数∑un收敛于和S,则级数∑如n也 敛,且其和为ks 性质2如果级数∑"灬∑分别收敛于s和t则 级数∑(an+n)收敛,且其和为s+t n=1 性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数 的收敛性

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、收敛级数的基本性质   n1 un   n1 kun ks   n  1 u n   n1 n v s t ( ) 1 n n n  u v   s t. 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数 的收敛性。 性质1 如果级数 收敛于和 ，则级数 也 敛， 且其和为 。 性质2 如果级数 、 分别收敛于 和 则 级数 也收敛， 且其和为 S

通串2《学 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 性质4如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的 级数收敛。 1+…+)+(n+…+ln)+…+{n,nt+…+n)+ 性质5(级数收敛的必要条件) 如果级数∑un收敛,则它的一般项趋于 零,即"= limu =0 n→》0

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 性质4 如果级数收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的 级数收敛。 (u1 un1 )(un11 un2 )(unk11 unk ) 性质5 （级数收敛的必要条件） 如果级数 收敛，则它的一般项趋于 零，即   n  1 u n lim  0  n n u

通串2《学 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 注意级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件。 例如调和级数 1++-+∴++ 23 的一般项趋于零,但它却是发散的

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 注意 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件。 例如 调和级数        n 1 3 1 2 1 1 的一般项趋于零，但它却是发散的