天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第十二章 微分方程（12.9）常系数非齐次线性微分方程

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第九节常系数非齐次线性微分方程 、f(x)=ePn(x)型 二、f(x)=e[p(x) cos ax+ P sin ax]型 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第九节 常系数非齐次线性微分方程 f (x) e P (x) m x 一、 = 型 二、 f x e Pl x x Pn x 型 x    ( ) = ( )cos + sin

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o f(x)=CPn(x)型 y"+py+qy=∫(x)二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程y"+m+q=0, 通解结构卩=Y+y, 常见类型Pn(x),Pn(x)l4 Pn( re cos pxe, pm(r)e sin ax, 难点:如何求特解?方法:待定系数法 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程 对应齐次方程 y + py + qy = 0, 通解结构 y = Y + y, 常见类型 P (x), m ( ) , x mP x e  P (x)e cos x, x m   P (x)e sin x, x m   难点：如何求特解？ 方法：待定系数法. 一、 f (x) e Pm (x) 型 x =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 设非齐方程特解为y=Q(x)l代入原方程 Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p4+q)Q(x)=Pn(x) (1)若不是特征方程的根,42+p+q≠0, 可设Q(x)=Qn(x),J=Cm(x)e“; (2)若是特征方程的单根, 22+p2+q=0,2元+p≠0, 可设Q(x)=xQn(x),y=xQn(x)e; tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设非齐方程特解为 x y Q x e  = ( ) 代入原方程 ( ) (2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Q  x +  + p Q x +  + p + q Q x = Pm x (1) 若不是特征方程的根， 0, 2  + p + q  Q(x) Q (x), 可设 = m (2) 若是特征方程的单根， 0, 2  + p + q = 2 + p  0, Q(x) xQ (x), 可设 = m ( ) ; x m y Q x e  = ( ) ; x m y xQ x e  =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o (3)若λ是特征方程的重根 x+p+q=0,2元+p=0, 可设Qx)=x2Q(x),y=x2gn(x)ex 综上讨论 0不是根 设y=x'e^Qn(x),k=1λ是单根, 2λ是重根 注意上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方 程(是重根次数) tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics (3) 若是特征方程的重根， 0, 2  + p + q = 2 + p = 0, ( ) ( ), 2 可设Q x = x Qm x 综上讨论 y x e Q (x) , m k x 设 =         = 是重根 是单根 不是根 2 1 , 0 k 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方 程（k是重根次数）. ( ) . 2 x m y x Q x e  =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 特别地y+p+如=之 A ex,A不是特征方程的根 22+p+q y= xe4x是特征方程的单根 21+ P 2 Ax e 是特征方程的重根 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 特别地 x y py qy Ae  +  + =          + + + = 是特征方程的重根 是特征方程的单根 不是特征方程的根          x x x x e A xe p A e p q A y 2 2 2 , 2

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1求微分方程y-2y-3y=3x+1的一个特解 解所对应的齐次方程y"-2y-3y=0的特征方程 2r-3=0 解得根为r=-1,r2=3,由于=0不是特征方程的根, 设特解为y=bx+b1 带入所给方程,得-3bnx-2b-3b=3x+1 比较同次幂的系数,得b=-1,b1=,求得的特解为 J x tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 求微分方程 y''−2 y'−3 y = 3x + 1 的一个特解 解 所对应的齐次方程 y''−2 y'−3 y = 0 的特征方程 2 3 0 2 r − r − = 解得根为 1, 3, r1 = − r2 = 由于  = 0 不是特征方程的根， 设特解为 . b0 x b1 y = + • 带入所给方程，得 − 3b0 x − 2b0 − 3b1 = 3x +1 比较同次幂的系数，得 . 3 1 1, b0 = − b1 = 求得的特解为 . 3 1 = − + • y x

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2求方程y-3y+2y=xe2的通解 解特征方程r2-3+2=0, 特征根r=1,F2=2 对应齐次方程通解Y=Ce+C2e2", =2是单根,设y=x(4x+B)e2x 代入方程得2Ax+B+2A=x:4 B=-1 于是j=x(x-1)e2x 原方程通解为y=C+C2+X(2x-1e2 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 3 2 . 求方程 y − y + y = xe 2 x 的通解 解 对应齐次方程通解 特征方程 3 2 0, 2 r − r + = 特征根 r1 = 1，r2 = 2， , 2 1 2 x x Y = C e + C e  = 2 是单根， ( ) , 2 x 设 y = x Ax + B e 代入方程, 得 2Ax + B + 2A = x , 1 2 1      = − =  B A x y x x e 2 1) 2 1 于是 = ( − 原方程通解为 1) . 2 1 ( 2 2 1 2 x x x y = C e + C e + x x − e 例2

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 二、f(x)=e[p(x) cos ax+ P sin ax]型 f(x)=e[ P cos ax+ P sin ax利用欧拉公式 e te lax e P 十 2 2i +-n)el+io).r )e (-i)x 22i 22i =P(x)eo)x+P(x)e(-0), 设y”+py+qy=P(x)ex1o),n1=x"gn (+i()x tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics f (x) e [P cos x P sin x] l n x    = + ] 2 2 [ i e e P e e e P i x i x n i x i x l x      − − − + + = l n i x l n i x e i P P e i P P ( ) ( ) ) 2 2 ) ( 2 2 ( +  −  = + + − ( ) ( ) , ( i ) x ( i ) x P x e P x e +  −  = + ( ) , ( i ) x y py qy P x e +  设  +  + = , ( ) 1 i x m k y x Q e +  = 利用欧拉公式 二、 f x e Pl x x Pn x 型 x    ( ) = ( )cos + sin

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o iy"+py'+ay=P(x)e -io)x, J2=x2m (-io)x y=xenome tome i xe[rm(x)cos ax+R 2)(x)sin], 其中R(x),B2(x)是m次多项式,m=manx,n 0元±i0不是根 九士i是单根 注意 上述结论可推广到阶常系数非齐次线性微分方程 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ( ) , ( i ) x y py qy P x e −  设  +  + = , ( ) 2 i x m k y x Q e −  = [ ] i x m i x m k x y x e Q e Q e   −   = + [ ( )cos ( )sin ], (1) (2) x e Rm x x Rm x x k x    = + 其中Rm (1) (x),Rm (2) (x)是m次多项式，m = maxl,n , 1 0      = 是单根 不是根     i i k 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例3求方程y"+y=4sinx的通解 解对应齐方通解Y=C1cosx+C2sinx, 作辅助方程y+y=4e 元=i是单根,故y=Axe" 代入上式2Ai=4,∴A=-2, .D=-ivoix=2xsinx-(2x cos x)i, 所求非齐方程特解为y=-2xc0sx,(取虚部) 原方程通解为y=C1cosx+C2sinx-2 xcos x tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 求方程 y + y = 4sin x的通解. 解 对应齐方通解 cos sin , Y = C1 x + C2 x 作辅助方程 4 , ix y + y = e  = i 是单根, , * ix 故 y = Axe 代入上式 2Ai = 4,  A = −2i, 2 2 sin (2 cos ) , * y ixe x x x x i ix  = − = − 所求非齐方程特解为 y = −2xcos x, 原方程通解为 cos sin 2 cos . y = C1 x + C2 x − x x （取虚部） 例3