天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第十二章 微分方程（12.5）全微分方程

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第五节全微分方程 、全微分方程及其求法 、积分因子法 三、小结 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节 全微分方程 一、全微分方程及其求法 二、积分因子法 三、小结

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、全微分方程及其求法 1.定义:若有全微分形式 dx,y)=P(x,y)dk+(x,y)全微分方程 或恰当方程 则P(x,y)dx+Q(x,y)小y=0 例如x+yy=0,a(x,y)=3(x2+y2) d(x,y)=xx+yy,所以是全微分方程 全微分方程2=0 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、全微分方程及其求法 1.定义: 则 P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 若有全微分形式 例如 xdx + ydy = 0, ( ), 2 1 ( , ) 2 2 u x y = x + y 全微分方程 或恰当方程 du(x, y) = xdx + ydy, 所以是全微分方程. . x Q y P   =   全微分方程

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 2.解法: P(x,y)x+Q(x,y)=0全微分方程 aP 00 应用曲线积分与路径无关 通解为以(x,y)=」P(x,y)dx+Q(x,y)d =g(x,y)小+∫P(x,,),m(xy)=C; 用直接凑全微分的方法 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2.解法: P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 应用曲线积分与路径无关. x Q y P   =    通解为   = + y y x x u x y P x y dx Q x y dy 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 ( , ) ( , ) , 0 0 0 Q x y dy P x y dx x x y y  = + u(x, y) = C ; 用直接凑全微分的方法. 全微分方程

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1求方程x3-3xy2)x+(y3-3x2y)d=0 的通解 00 解,=-6x 是全微分方程 u(r,y)=(x-3xy)dx+ydy r y t 原方程的通触、3xy2+ y=C tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics . ( 3 ) ( 3 ) 0 3 2 3 2 的通解 求方程 x − xy dx + y − x y dy = 解 6 , x Q xy y P   = − =   是全微分方程,   = − + x y u x y x xy dx y dy 0 3 0 3 2 ( , ) ( 3 ) . 2 4 3 4 4 2 2 4 C y x y x 原方程的通解为 − + = , 2 4 3 4 4 2 2 4 y x y x = − + 例1

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2求方程2+yx=0通解 解P6xaQ ay y ax 是全微分方程, 将左端重新组合+ 3x dy) (--)+d(3)=d(-2+ 原方程的通解为-+ tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 0 . 2 3 4 2 2 求方程 3 = 的通解 − + dy y y x dx y x 解 , 6 4 x Q y x y P   = − =   是全微分方程, 将左端重新组合 ) 2 3 ( 1 4 2 2 3 dy y x dx y x dy y + − ) ( ) 1 ( 3 2 y x d y = d − + . 1 3 2 C y x y 原方程的通解为− + = ), 1 ( 3 2 y x y = d − + 例2

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 二、积分因子法 定义:(x,y)≠0连续可微函数,使方程 u(x,y)P(x,y)dx+μ(x,y)Q(x,y)小=0成为全微分方程 则称山(x,y)为方程的积分因子 问题:如何求方程的积分因子? tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、积分因子法 定义 : (x, y)  0 连 续 可 微 函 数 ， 使 方 程 (x, y)P(x, y)dx + (x, y)Q(x, y)dy = 0成为全微分方程. 则称(x, y)为方程的积分因子. 问题: 如何求方程的积分因子?

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 1公式法:O(P)=0() O ax aP du 80 au +p 。+ ay ax a Q两边同除山 0nμ_P 求解不容易 ax ayay ax 特殊地: a.当以只与有关时:,=0,0=, tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 1.公式法: , ( ) ( ) x Q y P   =      x Q x Q y P y P   +   =   +       两边同除， x Q y P y P x Q   −   =   −   ln  ln  求解不容易 特殊地: a.当只与x有关时; = 0,   y  , dx d x   =  

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o dInu 1 ap aQ dx o ay ax =f(x) u(r=e f(x)dx D当只与有关时;9=0,9 ax din 00 aP 中 P ax ay )=g(y) g(y)小 u(=e tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics b.当只与y有关时; ( ) ln 1 x Q y P dx Q d   −    =  = f (x) ( ) . ( )   = f x dx  x e = 0,   x  , dy d y   =   ( ) ln 1 y P x Q dy P d   −    =  = g( y) ( ) . ( )   = g y dy  y e

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 2观察法:凭观察凑微分得到山(x,y) 常见的全微分表达式 xdx+ ydy= x ty 2 nDx xdy d l arctan xdy+yax=d(in xy) x +y xdx+ ydy d In(x ty r ty 2 xdy-yde rty 2 In 2 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2.观察法: 凭观察凑微分得到 (x, y) 常见的全微分表达式         + + = 2 2 2 x y xdx ydy d       = − x y d x xdy ydx 2       = + − x y d x y xdy ydx arctan 2 2 d( xy) xy xdy ydx = ln +       = + + + ln( ) 2 1 2 2 2 2 d x y x y xdx ydy       − + = − − x y x y d x y xdy ydx ln 2 1 2 2

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 可选用的积分因子有 等 rty xx y r t y yx 例3求微分方程 (3xy+y2)ax+(x2+xy)如y=0的通解 解:1 aP0、1 o ay axx 山(x)=ex=x 则原方程为 3xy+xy'dx+(x'+x y)dy=0 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 可选用的积分因子有 , , . 1 , 1 , 1 , 1 2 2 2 2 2 2 2 等 x y y x x + y x x y x + y (3 ) ( ) 0 . 2 2 的通解 求微分方程 xy + y dx + x + xy dy = 解 , 1 ( ) 1 x x Q y P Q =   −      = dx x x e 1 ( ) = x. 例3 则原方程为 (3 ) ( ) 0, 2 2 3 2 x y + xy dx + x + x y dy =