⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节换元积分法 、第一类换元法 第二类换元法 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节 换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法 返回
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、第一类换元法 定理1设f()具有原函数,=0x)可导,则有换元公式 ∫n1a(x)a(x)dx=∫f(m)dla 第一类换元公式(凑微分法) 注 解①在一般情况下: 设F()则∫f(a)=F(a)+C ②使用此公式的关键在于将 ∫g(x)化为Jn(x)(xlt 观察重点不同,所得结论不同
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、第一类换元法 定理1：设 f (u) 具有原函数， u = (x) 可导，则有换元公式 第一类换元公式（凑微分法） ( ) [ ( )] '( ) [ ( ) ] u x f x x dx f u du = = 注 解 ① 在一般情况下： 设 F'(u) = f (u) 则 f (u)du = F(u)+C ② 使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 f[(x)]'(x)dx 观察重点不同，所得结论不同
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1求 cos 2r 解 2cos 2x=cos 2x 2dx= cos 2x(2x),'dx I cosudu =sinu+C=sin 2x+C 例2求 3+2x 解: 3+2x2J3+2t‘(3+2r) dx L=3+2x -du==lnu+c 2 ln(3+2x)+C
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 求 2cos 2xdx 解： 2cos2xdx cos2x 2dx cos2x (2x)'dx = = udu u C x C u x = = + = + = cos sin sin2 2 例2 求 dx x 3 + 2 1 x dx x (3 2 ) 3 2 1 2 1 + + = dx x 3 + 2 解： 1 du u u x = + = 1 2 1 3 2 = ln u+C 2 1 ln( 3 2 ) . 2 1 = + x +C
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3求2xeth uEx 解:「2xe2dk=[e2 d(x)=edu=e"+C=e+C 例4求 x(1+2Inx 解: d(n x) x(1+2Ix) 1+2lx - d(1+2In x) 2J1+2Inx u=1+2Inx reJduslnutc=In(1+2In x)+C 2 2
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 求 xe dx x 2 2 解： = xe dx = e d x = e du u u x x x 2 2 2 2 ( ) 2 e C e C u x = + = + 2 求 解： dx x x (1+ 2ln ) 1 (ln ) 1 2ln 1 d x x + = (1 2ln ) 1 2ln 1 2 1 d x x + + = u = 1+ 2ln x = du u 1 2 1 = ln u+C 2 1 ln(1 2ln ) . 2 1 = + x +C 例4 dx x x (1+ 2ln ) 1
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例5求 ar 解:∫1=∫ 1+ arctan -+O 例6求,d +e 解: d x 1+e-e e b=dx-°d e 1+e 1+e (1+e) 十e =x-l(1+e2)+C
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 求 . 1 2 2 dx a x + 解： dx a x + 2 2 1 dx a a x + = 2 2 2 1 1 1 + = a x d a a x 2 1 1 1 arctan . 1 C a x a = + 例5 . 1 1 dx e x + 例6 求 解： dx e x 1+ 1 dx e e dx x x + = − 1 (1 ) 1 1 x x d e e dx + + = − x ln(1 e ) C. x = − + + dx e e e x x x + + − = 1 1
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例7求∫2 x. cos' xd. 解:∫sim2x:cs=im2 x cost xd(sinx) sinf x (1-sin x) d(sin x) I(sin2x-2sin*x+sin x)d(sinx) sinx--sin'x+-sin'x+C 3 5 主|①一般地∫(a+=订(ohd u=ax+b 解 ②当被积函数是三角函数相乘时,拆开奇次项去凑微分. 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 注 解 sin cos . 2 5 例7 求 x xdx x xdx 2 5 sin cos = sin (1−sin ) (sin ) 2 2 2 x x d x = (sin − 2sin + sin ) (sin ) 2 4 6 x x x d x sin . 7 1 sin 5 2 sin 3 1 3 5 7 = x − x + x +C 解： f (ax + b)dx = u du u=ax+b f a [ ( ) ] 1 ① 一般地 ② 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分. 返回 sin cos (sin ) 2 4 = x xd x
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、第二类换元法 定理2:设x=p()是单调的、可导的函数,并且q(t)≠0又设 f∫l()lg'(t)具有原函数,则有换元公式 ∫f(x)x=可Jng((mle 其中p(x)是x=(的反函数 注|①∫f(xk=1ol(1-=第二类积分换元公式 解 ②使用三角代换,化掉根式 )√a2-x2可令x= asin; i)(a2+x2可令x=atnt; 1)/2_2可令x= sect. r-a
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、第二类换元法 设 是单调的、可导的函数，并且 则有换元公式 又设 具有原函数， 定理2： x = (t) '(t) 0 f [(t)]'(t) ( ) ( ) [ [ ( )] '( ) ] 1 t x f x dx f t t dt − = = 其中 −1 (x) 是 x = (t) 的反函数 注 解 ① ( ) ( ) [ [ ( )] '( ) ] 1 t x f x dx f t t dt − = = 第二类积分换元公式 ② 使用三角代换，化掉根式. 2 2 ⅰ a − x 可令 x = asint; ) 2 2 ⅱ) a + x 可令 x = a tant; ⅲ) 2 2 x − a 可令 x = a sect
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例8求2dc(a>0) x+a 解:令x=tant→= asec tdt t∈ asec tdt x +al sect Isectdt=In(sect+ tant)+C 2 x√x+a In+ x+ll y
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ( 0). 1 2 2 + dx a x a 令 x = atant dx a tdt 2 = sec = + dx x a 2 2 1 a tdt a t 2 sec sec 1 = sectdt = ln(sec t + tant) +C t a x 2 2 x + a ln . 2 2 C a x a a x + + = + − 2 , 2 t 例8 求 解：
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例9求x3√4-x g C 解:令x=2 sint dx=2 cos tdt t∈ 22 ∫x2√4-x2=」(2siny、4-4sm2t2ct 32 sin tcos'tdt =32 sint(1-cos?t)cos'tdt =-32∫cos2t- cost)d cost -320coSt--coSt)+C √4-x2J+ x+C x
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例9 求 4 . 3 2 x x dx − 令 x = 2sint dx = 2costdt − 2 , 2 t x x dx − 3 2 4 (2sint) 4 4sin t 2costdt 3 2 = − t tdt 3 2 32 sin cos = t t tdt 2 2 32 sin (1 cos )cos = − 32 (cos t cos t)d cost 2 4 = − − = − t − cos t) + C 5 1 cos 3 1 32( 3 5 t 2 x 2 4 − x ( ) ( 4 ) . 5 1 4 3 4 5 2 3 2 = − − x + − x + C 解：
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例10求 dk (a>o x 解:令x= sect di= asecttan tdt t∈0, a sect. tan t dx= 2 x -a a tant =I sectat In(sect tant)+C r -l r -ll +c
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ( 0). 1 2 2 − dx a x a 令 x = asect 2 dx = asecttantdt t 0, = − dx x a 2 2 1 dt a t a t t tan sec tan = sectdt = ln(sec t + tant) +C t a x 2 2 x − a ln . 2 2 C a x a a x + − = + 例10 求 解：
