习题4-1 1.箱中有12件产品,其中2件次品,从中任意取2次,每次取1件,定义 随机变量ξ,n如下: 第1次取出的是次品 第1次取出的是正品:刀 第2次取出的是次品 第2次取出的是正品 试就下面两种情况写出(ξ,η)的概率分布和边缘分布,并问点与n是否相互独 立?(1)有放回地抽取:(2)无放回地抽取 2.设随机向量(5,n)的联合密度为:P(x,y)= k(6-x-y),0<x<2,2<y<4 其他 (1)确定常数k;(2)求P<,n<3);:(3)求P(<1.5);(4)求P(+n≤4) 3.随机向量(,m)的联合密度是:P(x,y)=(0 f(R-√x2+y2),当x2+y2<R2 求:(1)系数k;(2)随机向量落在圆x2+y2≤r2(r<R)内的概率. 4.设(5,m)的联合密度是:p(x,y)= (1+x2)1+y2) 求:(1)系数k; (2)(2,n)落在以00),(0,1)(10),(1)为顶点的正方形内的概率; (3)问ξ,η是否相互独立 k, sin(x+y), 0<x<, 0<y< 5设(5,n)的联合密度是:P(x,y)=10 其他 求:(1)系数k;(2)边缘密度 6.一台机器制造直径为ξ的圆轴,另一台机器制造内径为m的轴衬 设(,n)的联合密度为p(xy)=10 250,￥0.49<x0.51,0.51<y<0.53 其他 若轴衬的内径与轴的直径之差大于0.004且小于0.036,则两者可以相适衬,求 任一轴与任一轴衬相适衬的概率 7.随机向量(5,m)在矩形区域`D={(x,y):a<x<b,c<y<b}内服从均匀分 布,求联合密度与边缘密度,又问随机变量ξ,n是否相互独立? 8设一供电系统的发电机组1和2在一年内(以360天计)任何时刻故障 检修都是等可能的,检修时间需要12天,而且两个机组出故障与否相互独立.试
1 习题 4-1 1. 箱中有 12 件产品，其中 2 件次品，从中任意取 2 次，每次取 1 件，定义 随机变量 ， 如下： ，第 次取出的是次品 ，第 次取出的是正品； 1 1 0 1 ={ ，第 次取出的是次品， ，第 次取出的是正品； 1 2 0 2 ={ 试就下面两种情况写出 （，） 的概率分布和边缘分布，并问 与 是否相互独 立？（1）有放回地抽取；（2）无放回地抽取. 2．设随机向量( ， )的联合密度为： (6 ), 0 2,2 4 0, , ) { − − = k x y x y P x y 其他 （ （1）确定常数 k; （2）求 P(＜1，＜3) ;（3）求 P( 1.5) ; （4）求 P( + 4) 3．随机向量 (,) 的联合密度是： 2 2 2 2 2 2 2 ( ), 0. , ) { k R x y x y R x y x y − + + + = 当 当 （ 求：（1）系数 k；（2）随机向量落在圆 ( ) 2 2 2 x + y r r R 内的概率. 4.设 （，） 的联合密度是： (1 )(1 ) , ) 2 2 x y k p x y + + （ = 求：（1）系数 k； （2） (,)落在以(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的正方形内的概率; （3）问 ， 是否相互独立？ 5.设 （，） 的联合密度是： 2 ,0 2 ,sin( ), 0 0, , ) { + = k x y x y p x y 当 其他 （ 求：（1）系数 k； （2）边缘密度. 6．一台机器制造直径为 的圆轴，另一台机器制造内径为 的轴衬. 设（，） 的联合密度为 2500 0.49 0.51, 0.51 0.53 0, ( , ) { = ＜x y p x y ， 当 其他 , 若轴衬的内径与轴的直径之差大于 0.004 且小于 0.036，则两者可以相适衬，求 任一轴与任一轴衬相适衬的概率. 7．随机向量 （，）在矩形 区域`D={( x , y ):a< x <b,c< y <b}内服从均匀分 布，求联合密度与边缘密度，又问随机变量 ，是否相互独立？ 8. 设一供电系统的发电机组 1 和 2 在一年内（以 360 天计）任何时刻故障 检修都是等可能的，检修时间需要 12 天，而且两个机组出故障与否相互独立．试
求该供电系统在一年内因发电机组出故障而断电的概率. 9.设(5,n)服从D={(xy) (x+ y)+(x-y) 2a22b251}上的均匀分布,求 (2,)的联合密度 10.对于下列三组参数,写出二维正态随机向量的联合密度与边缘密度. u1 A 0 c2 P (1) 1121 (3) 12 0 1l.一台电子仪器由两部件构成,以和n分别表示两部件的寿命(单位 千小时),已知(5,n)的分布函数为 F(x, y e03x-ey+e3(x),xr≥0,y≥0, 0,其他 (1)问和n是否相互独立? (2)求两个部件的寿命都超过100小时的概率 2
2 求该供电系统在一年内因发电机组出故障而断电的概率． 9. 设 1} 2 ( ) 2 ( ) {( . ) : 2 2 2 2 − + + = b x y a x y （，）服从D x y 上的均匀分布，求 (,)的联合密度。 10. 对于下列三组参数，写出二维正态随机向量的联合密度与边缘密度. 1 2 1 2 (1) 3 0 1 1 2 1 (2) 1 1 2 1 2 1 2 1 (3) 1 2 1 2 1 0 11. 一台电子仪器由两部件构成，以 和 分别表示两部件的寿命（单位： 千小时），已知（ ， ）的分布函数为 0.5 0.5 0.5( ) 1 , 0, 0; , ) 0, x y x y e e e x y F x y − − − + − − + = （ 其他. （１）问 和 是否相互独立？ （２）求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率．