第十章多元函数微分学 第一节多元函数的极限及连续性 第二节偏导数 第三节全微分 第四节多元复合函数微分法 第五节多元函数的极值
第十章 多元函数微分学 第一节 多元函数的极限及连续性 第二节 偏导数 第三节 全微分 第四节 多元复合函数微分法 第五节 多元函数的极值
第一节多元函数的极限及连续 性 、多元函数 二、二元函数的极限与连续性
第一节 多元函数的极限及连续 性 一、多元函数 二、二元函数的极限与连续性
第一节多元函数的极限及连续性 、多元函数 1实例分析 例1设矩形的边长分别x和y,则矩形的面 积S为S=xy 在此,当x和y每取定一组值时,就有一确定的面 积值S.即S依赖于x和y的变化而变化 例2具有一定质量的理想气体,其体积为V,压强 为P,热力学温度T之间具有下面依赖关系P RT (R 是常数) 在这一问题中有三个变量P,V,T,当V和T每取 定为一组值时,按照上面的关系,就有一确定的压强P
1.实例分析 例 1 设矩形的边长分别 x 和 y ，则矩形的面 积 S为 S = xy . 在此，当 x和 y 每取定一组值时，就有一确定的面 积值S ．即S 依赖于 x和 y 的变化而变化． 例 2 具有一定质量的理想气体，其体积为 V，压强 为 P，热力学温度 T 之间具有下面依赖关系 V RT P = （R 是常数）. 在这一问题中有三个变量 P，V，T，当 V 和 T 每取 定为一组值时，按照上面的关系，就有一确定的压强 P． 第一节 多元函数的极限及连续性 一、多元函数
1.二元函数的定义 定义1(二元函数)设有三个变量x,y和,如果 当变量x,y在它们的变化范围D中任意取定一对值时, 变量z按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们 对应,则称二为变量x,y的二元函数,记为2=f(x,y), 其中x与ν称为自变量,函数z也叫因变量.自变量 x与y的变化范围D称为函数z的定义域 区域的概念:由一条或几条光滑曲线所围成的具有连 通性(如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部 分平面的折线连结起来,这样的部分平面称为具有连通性) 的部分平面,这样的部分平面称为区域.围成区域的曲线 称为区域的边界,边界上的点称为边界点,包括边界在内 的区域称为闭域,不包括边界在内的区域称为开域
１．二元函数的定义 定义 1 (二元函数) 设有三个变量 x y, 和z, 如果 当变量 x y, 在它们的变化范围 D 中任意取定一对值时， 变量 z 按照一定的对应规律都有惟一确定的值与它们 对应，则称 z 为变量 x y, 的二元函数，记为z = f (x, y) ， 其中 x与 y 称为自变量，函数 z 也叫因变量．自变量 x与 y 的变化范围 D 称为函数 z 的定义域． 区域的概念：由一条或几条光滑曲线所围成的具有连 通性(如果一块部分平面内任意两点均可用完全属于此部 分平面的折线连结起来，这样的部分平面称为具有连通性) 的部分平面，这样的部分平面称为区域．围成区域的曲线 称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内 的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域．
如果一个区域D内任意两点之间的距离都不超过某 常数M,则称D为有界区域,否则称D为无界区域 常见区域有矩形域:a0 圆域{x,y)|(x-x)2+(y-x)2<62)一般称为平面 上点B(x23y0)的δ邻域,而称不包含点P0的邻域为无 邻域 二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑 曲线所围成平面区域.二元函数定义域的求法与一元函 数类似,就是找使函数有意义的自变量的范围,其定义 域的图形一般由平面曲线围成
如果一个区域D 内任意两点之间的距离都不超过某 一常数M ，则称D 为有界区域，否则称D 为无界区域． 常见区域有矩形域：a x b,c y d , 圆域:( ) ( ) ( 0). 2 2 0 2 x − x0 + y − y 圆域 2 2 0 2 0 (x, y)| (x − x ) + ( y − y ) 一般称为平面 上点 ( , ) 0 0 0 P x y 的 邻域，而称不包含点 P0的邻域为无 心邻域． 二元函数的定义域通常是由平面上一条或几条光滑 曲线所围成平面区域 .二元函数定义域的求法与一元函 数类似，就是找使函数有意义的自变量的范围，其定义 域的图形一般由平面曲线围成．
例3求二元函数z=a2-x2-y2的定义域 解由根式函数的定义容易知道,该函数的定义域 为满足x2+y2≤a2的x,y,即定义域为 D={x,y)1x2+y2≤a2 这里D在xOy面上表示一个以原点为圆心,a为半 径的圆域.它为有界闭区域(如下图所示) O
例 ３ 求二元函数 2 2 2 z = a − x − y 的定义域． 解 由根式函数的定义容易知道，该函数的定义域 为满足 2 2 2 x + y a 的x, y,即定义域为 2 2 2 D = (x, y) | x + y a . 这里D在xOy面上表示一个以原点为圆心，a 为半 径的圆域．它为有界闭区域（如下图所示）. O 2 2 2 x + y = a y x a a
例4求二元函数z=ln(x+y)的定义域 解自变量x,y所取的值必须满足不等式x+y>0, 即定义域为 D={(x,y)|x+y>0} 点集D在xOy面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x+y=0),如下图所示,此时D为无界开区域
例 4 求二元函数z = ln(x + y)的定义域． 解 自变量x, y 所取的值必须满足不等式x + y 0 , 即定义域为 D = (x, y) | x + y 0. 点 集D 在xOy 面上表示一个在直线上方的半平面(不 包含边界x + y = 0)，如下图所示，此时 D 为无界开区域． O y x
例5求二元函数z=1n(9-x2-y2)+x2+y2-1的定 义域 解这个函数是由n(9-x2-y2)和x2+y2-1两部 分构成,所以要使函数z有意义,x,y必须同时满足 x2+y2-1≥0, 即1≤x2+y2<9,函数定义域为 D={x,y)1≤x2+y2<9}点集D 在xOy平面上表示以原点为圆 心,半径为3的圆与以原点为 圆心的单位圆所围成的圆环 域(包含边界曲线内圆x+y2=1, 但不包含边界曲线外圆x+y2=9) (如右图所示)
例 5 求二元函数 ln(9 ) 1 2 2 2 2 z = − x − y + x + y − 的定 义域． 解 这个函数是由ln(9 ) 2 2 − x − y 和 1 2 2 x + y − 两 部 分构成，所以要使函数 z 有意义，x, y 必须同时满足 + − − − 1 0, 9 0, 2 2 2 2 x y x y 即1 9 2 2 x + y ,函数定义域为 ( , ) |1 9. 2 2 D = x y x + y 点集 D 在xOy平面上表示以原点为圆 心，半径为 3 的圆与以原点为 圆心的单位圆所围成的圆环 域(包含边界曲线内圆 1 2 2 x + y = ， 但不包含边界曲线外圆 9 2 2 x + y = ) (如右图所示)． O 1 3 x y
2二元函数的几何表示 把自变量xy及因变量z当作空间点的直角坐标,先在 xOy平面内作出函数z=f(x,y)的定义域D(如下图),再 过D域中的任一点M(x,y)作垂直于xOy平面的有向线段 MP,使P点的竖坐标为与(x,y)对应的函数值z.当M点在 D中变动时,对应的P点的轨迹就是函数z=f(x,y)的几何 图形,它通常是一张曲面,而其定义域D就是此曲面在 xOy平面上的投影 P y D
2.二元函数的几何表示 把自变量x, y 及因变量 z 当作空间点的直角坐标，先在 xOy平面内作出函数z = f (x, y)的定义域 D (如下图)，再 过 D 域中的任一点M (x, y)作垂直于xOy平面的有向线段 MP，使P点的竖坐标为与(x, y)对应的函数值 z．当 M 点在 D中变动时，对应的 P 点的轨迹就是函数z = f (x, y) 的几何 图形，它通常是一张曲面，而其定义域 D 就是此曲面在 xOy平面上的投影． y x z O X Y M D P
f(x,y) … D 二元函数的图形通常是一张曲面
二元函数的图形通常是一张曲面