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Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节 有理函数的积分 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例 返回
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、有理函数的积分 两个多项式的商表示的函数称为有理函数 P(x) =04-n-1 ·+ax+a Q(x) box+bx +.+bmx+b 其中m,n都是非负整数;ao,a,…mn及b0,b,…bn 都是实数,并且a0≠0,b0≠0 假定分子与分母之间没有公因式 (1)n<m,这有理函数是真分式 (2)n≥m,这有理函数是假分式; 注利用多项式除法假分式可以化成一个多项式和一个真 解分式之和
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 两个多项式的商表示的函数称为有理函数. m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 一、有理函数的积分 其中 都是非负整数； 及 都是实数，并且 . m,n a a an , , 0 1 b b bn , , 0 1 a0 0,b0 0 假定分子与分母之间没有公因式 (1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式； 注 解 利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真 分式之和
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 有理函数化为部分分式之和的一般规律: 1)分母中若有因式(x-a),则分解后为 k 十 k ∴十 其中A,A,Ak都是常数 特殊地:k=1,分解后为 (2)分母中若有因式x2+px+q),其中2-4q<0则分解后为 Mx+ Mx+w Mx+N (x+px+g)(x2+p+gy4x… x t px q 其中M,N都是常数i=12…,k Mx + w 特殊地:=1,分解后为 x+ px +o (3)真分式化为部分分式之和的待定系数法
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics （1）分母中若有因式 (x − a) k ，则分解后为 , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k − + + − + − − 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 其中 都是常数 特殊地： A A Ak , , 1 2 分解后为 ; x a A − k = 1, （2）分母中若有因式 ,其中 k (x px q) 2 + + p 2 − 4q 0 则分解后为 x px q M x N x px q M x N x px q M x N k k k k + + + + + + + + + + + + 2 −1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 其中 Mi , Ni 都是常数 i = 1,2 , k 特殊地： k = 1, 分解后为 ; 2 x px q Mx N + + + （3）真分式化为部分分式之和的待定系数法
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics x+3 B 例1 x2-5x+6x-2x-3 x+3 x+3 解 x2-5x+6(x-2)(x-3) x+3=A(x-3)+B(x-2) x+3=(4+B)x-(3A+2B), A+B=1, A=-5 (34+2B)=3,→ B=6 x+3 5 6 x2-5x+6x-2x-3
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 5 6 3 2 − + + x x x ( 2)( 3) 3 − − + = x x x , 2 − 3 + − = x B x A x + 3 = A(x − 3) + B(x − 2), x + 3 = (A+ B)x − (3A+ 2B), − + = + = (3 2 ) 3, 1, A B A B , 6 5 = = − B A 5 6 3 2 − + + x x x . 3 6 2 5 − + − − = x x 例1 5 6 3 2 − + + x x x 解
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 7× B 例2 rIr 解1=4(x-1)2+Bx+Cx(x-1) 代入特殊值来确定系数A,B,C 取x=0,→A=1取x=1,→B=1 取x=2,并将A,B值代入(1)→C=-1
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2 ( 1) 1 x x− , ( 1) 1 2 − + − = + x C x B x A 1 ( 1) ( 1) (1) 2 = A x − + Bx +Cx x − 代入特殊值来确定系数 A,B,C 取 x = 0, A = 1 取 x = 1, B = 1 取 x = 2, 并将 A,B 值代入 (1) C = −1 . 1 1 ( 1) 1 1 2 − − − = + x x x 2 ( 1) 1 − x x 例2 解
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 +Bx+C (1+2x)(+x2)1+2x1+x2 解1=A(1+x2)+(Bx+C(1+2x 整理得1=(4+2B)x2+(B+2C)x+C+A, A+2B=0, B+2C=0,→小4 B C 5 5 A+C=1, 21 55 (1+2x)(1+x2)1+2x1+x2
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 . 1 5 1 5 2 1 2 5 4 2 x x x + − + + + = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x 1 (1 ) ( )(1 2 ), 2 = A + x + Bx + C + x 1 ( 2 ) ( 2 ) , 2 = A+ B x + B + C x + C + A + = + = + = 1, 2 0, 2 0, A C B C A B , 5 1 , 5 2 , 5 4 A = B = − C = , 1 2 1 2 x Bx C x A + + + + = (1 2 )(1 ) 1 2 + x + x 整理得 解
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4求积分 .dx xlr 解 dx xlx xX d x d x d x =Ix-—-ln(x-1)+C
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4 求积分 . ( 1) 1 2 dx x x − dx x x − 2 ( 1) 1 dx x x x − − − = + 1 1 ( 1) 1 1 2 dx x dx x dx x − − − = + 1 1 ( 1) 1 1 2 ln( 1) . 1 1 ln x C x x − − + − = − 解
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例5求积分 (1+2x)(1+x x十 解 5 (1+2x)+x2)1+2x d x t 1+y 2 ln(1+2x) 1【2xdx+ d x 51+x 2 2 51+x -In(1+2x)--In(1+x)+arctan+C. 5 5
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例5 求积分 解 . (1 2 )(1 ) 1 2 + + dx x x dx x x dx x + − + + + = 2 1 5 1 5 2 1 2 5 4 + + dx (1 2x)(1 x ) 1 2 dx x dx x x x + + + = + − 2 2 1 1 5 1 1 2 5 1 ln(1 2 ) 5 2 arctan . 5 1 ln(1 ) 5 1 ln(1 2 ) 5 2 2 = + x − + x + x + C
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例6求积分 1+e2+e3+e 解令t=e6→x=6lnt,dx=-lt, dt 1+t3+t2+t 1+e2+e3+e 633t+3 +D)(1+ t1+t1+t2
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例6 求积分 解 . 1 1 2 3 6 dx e e e x x x + + + 令 6 x t = e x = 6lnt, , 6 dt t dx = dx e e e x x x + + + 2 3 6 1 1 dt t t t t 6 1 1 3 2 + + + = dt t t t + + = (1 )(1 ) 1 6 2 dt t t t t + + − + = − 2 1 3 3 1 6 3
⑩串紫学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 633t+3 dt t 1+t 1+t =6lt-3ln(1+t)- 3rd(1+ dt 21+t 1+t 6Int-3In(1+)-In(1+t)-3arctant +C 2 x-3In(1+eb)-In(1+es)-3arctaneb)+C
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics = t − + t − ln(1+ t ) − 3arctant + C 2 3 6ln 3ln(1 ) 2 dt t t t t + + − + = − 2 1 3 3 1 6 3 ln(1 ) 3arctan( ) . 2 3 3ln(1 ) x e 6 e 3 e 6 C x x x = − + − + − + 2 3 = 6lnt − 3ln(1+ t) − dt t t d t + − + + 2 2 2 1 1 3 1 (1 )