天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第十章 曲线积分与曲面积分（10.7）斯托克斯（Stokes）公式环流量与旋度

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第七节斯托克斯( Stokes)公式 环流量与旋度 斯托克斯公式 、简单应用 、环流量与旋度 四、总结 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第七节 斯托克斯(Stokes)公式 环流量与旋度 一、 斯托克斯公式 二、 简单应用 三、 环流量与旋度 四、 总结

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 斯托克斯( stokes)公式 定理设r为分段光滑的空间有向闭曲线,∑是以为边界 的分片光滑的有向曲面,T的正向与∑的侧符合右手规则 函数P(x,y,z),Q(x,yz),R(x,y,z)在包含曲面Σ在内的 一个空间区域内具有一阶连续偏导数,则有公式 OR 00 at r )did+ag aP aP OR )dydz+ )dxdy ay az .r Px+Q小y+Rtz 斯托克斯公式 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理 设为分段光滑的空间有向闭曲线,是以为边界 的分片光滑的有向曲面, 的正向与的侧符合右手规则, 函数P(x, y,z),Q(x, y,z),R(x, y,z)在包含曲面在内的 一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式 一、斯托克斯(stokes)公式 dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz 斯托克斯公式

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 右手法则 ∑ r是有向曲面∑的 正向边界曲线 证明如图 设∑与平行于z轴的直线 ∑:z=f(x,y) 相交不多于一点,并Σ取 上侧,有向曲线C为∑的正 向边界曲线r在xOy的投 影且所围区城Dy tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics n    是有向曲面 的 正向边界曲线   右手法则 x y z o ( , ) :  z = f x y Dxy  C n  证明 设Σ与平行于z 轴的直线 相交不多于一点, 并Σ取 上侧,有向曲线C为Σ的正 向边界曲线在 xoy的 投 影.且所围区域 Dxy. 如图

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 思路 曲面积分 二重积分 曲线积分 aP aP aP dzdx -dxdy cos B--cos y )ds az 又∵c0sβ=-f,c0s",代入上式得 aP dd-d小=-∫ aPaP 2 ay af,)cosyds tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 思路 曲面积分 二重积分 曲线积分 1 2 ds y P z P dxdy y P dzdx z P ( cos  cos )   −   =   −        又 cos = − f y cos , 代入上式得f ds z P y P dxdy y P dzdx z P y ( )cos   +   = −   −      

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o aP aP apaP 即 dzdx- dxdy= az ∑ ay az E00 ap aP PIx,v,f(x,y=+of OP aP dzdx -dxd PIx,y, f(x, y)lardy tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics f dxdy z P y P dxdy y P dzdx z P y ( )   +   = −   −       即 P[x, y, f (x, y)]dxdy , y dxdy y P dzdx z P Dxy     = −   −    y f z P y P P x y f x y y    +   =   [ , , ( , )] 1

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 根椐格林公式 Plx, y, f(x, y)ldxdy=P Plx, y, f(x, y)ldx 甲!x(x) 平面有向曲线 aP aP dzdx-o dxdy=k P(x, y, z dx, 空间有向曲线 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics   =   − c D P x y f x y dxdy P x y f x y dx y xy [ , , ( , )] [ , , ( , )] dxdy P x y f x y dx y P dzdx z P  c =   −    即 [ , , ( , )] 根椐格林公式 平面有向曲线 2 dxdy P(x, y,z)dx, y P dzdx z P    =   −   空间有向曲线

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 同理可证 00 00 dc-d=Q(x,y,z地 OR OR d-dztx=R(x,y,z地, ax OR a0 OP OR -)dz+( )dzdx +o )dx oz. ax ∑ ax ay 「Pa+Q+R.故有结论成立 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics dydz Q(x, y,z)dy, z Q dxdy x Q    =   −   同理可证 dzdx R(x, y,z)dz, x R dydz y R    =   −   dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ( ) ( ) ( )   −   +   −   +   −       = Pdx + Qdy + Rdz.. 故有结论成立

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 便于记忆形式 000 Pdx+@dy+ rdz ax ay az Q R 另一种形式 cosa cos B cosy ds=k Pdx+ody+Rdz e ax ay az P Q R 其中n={cosa,cosB,coy tianjin polytechnic la

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics    = + +       Pdx Qdy Rdz P Q R x y z dydz dzdx dxdy    = + +       ds Pdx Qdy Rdz P Q R x y z cos cos  cos 另一种形式 n = {cos,cos  ,cos }  其中 便于记忆形式

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o Stokes公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲 线积分之间的关系 (当Σ是xoy面的平面闭区域时) 特殊情形 斯托克斯公式 格林公式 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics Stokes公式的实质: 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲 线积分之间的关系. 斯托克斯公式 格林公式 特殊情形 (当Σ是xoy面的平面闭区域时)

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 二、简单的应用 例1计算曲线积分dxd+ydz,其中是平面 x+y+z=1被三坐标面所截成的三角形的整个边 界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合 右手规则 解按斯托克斯公式,有 zdx xdy+ ydz dydz dzdx + dxdy tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 1 计算曲线积分 zdx + xdy + ydz  ,其中是平面 x + y + z = 1被三坐标面所截成的三角形的整个边 界,它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合 右手规则. 二、简单的应用 0 Dxy x y z n 1 1 解 按斯托克斯公式, 有 1 zdx xdy ydz  + +   = dydz + dzdx + dxdy