⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程 二、典型例题 三、小结 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节 可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程 二、典型例题 三、小结
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、可分离变量的微分方程 (y)d=f(x)可分离变量的微分方程 例如=2x2y→y=2x2tkr, 解法设函数g(y)和f(x)是连续的, 分离变量法 g(y)dy=lf(r) 设函数G(y)和F(x)是依次为g(y)和f(x)的原函 数,G(y)=F(x)+C为微分方程的解 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、可分离变量的微分方程 可分离变量的微分方程. 5 4 2 2x y dx dy 例如 = 2 , 5 2 4 y dy = x dx − 解法 设函数g( y)和 f (x)是连续的, g( y)dy = f (x)dx 分离变量法 设函数G( y)和F(x)是依次为g( y)和f (x) 的原函 数, G( y) = F(x) + C 为微分方程的解
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、典型例题 例1求解微分方程=2x的通解。 解分离变量=2xx, 两端积分∫=∫2x, Inly=x2+C1 y=Ce即为所求的通解。 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 求解微分方程 解 分离变量 2xdx, y dy = 两端积分 2 , = xdx y dy 1 2 ln y = x + C 2 x y = Ce 二、典型例题 xy dx dy = 2 的通解。 即为所求的通解
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2求方程f(x)y+g(x)x=0通解 解令u=x,则d=xd+ytx, ∫(u)yx+g(u)x du-ydx 0 lf(u)-gul-d+gudu=0, dx gu x ulf(u-al du=0, 通解为In|x g u u∫(u)-g() tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics u = xy, du = xdy + ydx, ( ) ( ) = 0, − + x du ydx f u ydx g u x [ ( )− ( )] dx + g(u)du = 0, x u f u g u 0, [ ( ) ( )] ( ) = − + du u f u g u g u x dx 通解为 解 求方程 f (xy)ydx + g(xy)xdy = 0 通解. . [ ( ) ( )] ( ) ln | | du C u f u g u g u x = − + 令 则 例2
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3衰变问题衰变速度与未衰变原子含量M成正比, 已知M=0=M0,求衰变过程中铀含量M()随时间t变 化的规律 解衰变速度 由题设条件 =M(>0衰变系数)a dM 「-λd,mM=-+1nC,即M=C 代入M=0=M得Mn=Ce"=C, M=Me-at 衰变规律 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 3 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量M成正比, 已知M t=0 = M0 ,求衰变过程中铀含量M(t)随时间t变 化的规律. 解 , dt dM 衰变速度 由题设条件 = −M ( 0衰变系数) dt dM dt M dM = − , = − dt M dM 代入M t=0 = M0 lnM = −t + lnC, , t M Ce− 即 = 0 得 M0 = Ce = C, t M M e − = 0 衰变规律
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图)开始时容器内盛满了 水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔 口中心间的距离)随时间的变化规律 解由力学知识得水从孔口流出的 流量为 Q==0.62S2gh, 流量系数孔口截面面积重力加速度 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了 水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔 口中心间的距离)随时间t的变化规律. 解 由力学知识得,水从孔口流出的 流量为 0.62 S 2gh, dt dV Q = = 流量系数 孔口截面面积 重力加速度
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics ∵∴S=1cm d=0.622ghd,(1) cm 设在微小的时间间隔[t,t+dml, 水面的高度由h降至h+h,则a=-zr2mh r=√1002-(100-1)2=√200h-h2, ∴d=一7(200h-h2ydh, (2) 比较(1)和(2)得:-7(200h-h2)h=0.62√2ghl, tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 100 cm h o r h h+ dh dV = 0.62 2ghdt, (1) 设在微小的时间间隔 [t, t + dt], 水面的高度由h降至 h+ dh , 100 (100 ) 200 , 2 2 2 r = − − h = h − h (200 ) , (2) 2 dV = − h− h dh 比较(1)和(2)得: (200h h )dh 2 − − = 0.62 2ghdt, S = 1 cm , 2 则 dV = - r dh 2
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 7(200h-h2)Mh=0.622ghdt 即为未知函数的微分方程 可分离变量 dt 062、2g (200-√h3)h, 400 2 (√h3-=√h)+C, 0.62、/2 3 14 h=0=100,∴C 062、2 ￥105, 所求规律为t (7×10-10h3+3√h3) 4.65、/2 g tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics (200h h )dh 2 − − = 0.62 2ghdt, 即为未知函数的微分方程. 可分离变量 (200 ) , 0.62 2 3 h h dh g dt − = − ) , 5 2 3 400 ( 0.62 2 3 5 h h C g t − + = − | 100, h t=0= 10 , 15 14 0.62 2 5 = g C 所求规律为 (7 10 10 3 ). 4.65 2 5 3 3 5 h h g t − + =
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 小结 分离变量法步骤: 1、分离变量; 2、两端积分---隐式通解. tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 三、小结 分离变量法步骤: 1、分离变量; 2、两端积分-------隐式通解
