天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第八章 多元函数微分法及其应用（8.3）全微分

天津工紫大学 Teaching Plan on Advanced Mathematicso 第三节全微分 一、全微分的定义 二、全微分在数值计算中的应用 Tianjin Polytechnic mniversit

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、全微分在数值计算中的应用 第三节 全微分 一、全微分的定义

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、全微分的定义 定义:如果函数z=f(x,y)在定义域D的内点(x,y) 处全增量△z=f(x+Ax,y+4y)-f(x,y)可表示成 △z=A△x+BΔy+0(p),P=√(Ax)2+(4y) 其中A,B不依赖于Ax,△y,仅与x,y有关,则称函数 f(x,y)在点(x,y)可微,称为函数f(x,y) 在点(x,y)的全微分,记作 dz= df= AAx+ BA 若函数在域D内各点都可微,则称此函数在D内可微 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、全微分的定义 定义: 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y ) 可表示成  z = Ax + B y + o( ) , 其中 A , B 不依赖于 x ,  y , 仅与 x , y 有关，则称函数 称为函数 f (x, y) 在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz = d f = Ax + By 若函数在域 D 内各点都可微, f ( x, y ) 在点( x, y) 可微， 处全增量 则称此函数在D 内可微

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 由微分定义: imn△z=lim[(4△x+B△y)+0(p)]=0 △y→0 得 i∫(x+△x,y+△y)=∫(x,y) A→>0 △y→>0 即函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 Δ=f(x+△x,y+△y)-∫(x,y) 函数在该点连续 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系 (1)函数可微 偏导数存在 (2)偏导数连续 函数可微 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics (2) 偏导数连续 z = f (x + x, y +  y) − f (x, y) lim( ) ( ) 0   = Ax + B y + o → 下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微 lim ( , ) 0 0 f x x y y y x +  +   →  → 由微分定义 : 得 z y x   →  → 0 0 lim = 0 = f (x, y) 函数在该点连续 偏导数存在 函数可微 即

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 定理1(必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则该 函数在该点偏导数 az az ax a 必存在,且有 y dz=~△x+△y dx ay 证:由全增量公式△x=Ax+BAy+0(P),令△=0 得到对x的偏增量 A=J(+△x,y)-f(x,)=A△x+0(△x) az 0x△x→0△x 同样可证a =B,因此有dz △xr 0Z by y tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,则该 函数在该点偏导数 y y z x x z z     +   d = x z    同样可证 B, y z =   证: 由全增量公式 令 y = 0, = Ax + o( x ) 必存在,且有 得到对 x 的偏增量 x + x x 因此有 x zx x   =  →0 lim = A

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 注意:定理1的逆定理不成立.即: 偏导数存在函数不一定可微! +y2≠0 反例:函数f(x,y)= 易知(0=,0.0=0,但 △z-Jf(,0)△x+f,(0,0)2y= △x△y (△x)2+(△y) △x△y △x△ (△x)2+(△y)2/p(△x)2+(△y)2 0 ≠0(0)因此,函数在点(0,0)不可微 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 反例: 函数 f (x, y) = 易知 (0, 0) = (0, 0) = 0 , x y f f 但 z [ f ( 0, 0) x f ( 0, 0) y]  − x  + y  因此,函数在点 (0,0) 不可微 .  o( ) 注意: 定理1 的逆定理不成立 .即: 2 2 ( x) ( y) x y  +    = 2 2 ( x) ( y) x y  +    = 0 偏导数存在函数 不一定可微 ! , 0 2 2 2 2 +  + x y x y x y 0, 0 2 2 x + y =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 定理2(充分条件)若函数z=(x,)的偏导数02,02 ax a y 在点(x,y)连续,则函数在该点可微分 证:△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y) =[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+|∫(x,y+△y)-f(x,y) =f(x+6△x,y+△y)△x+f(x,y+2△y)△y =U(x,y)& Ax+If,(x, y)+B Ay(00 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics = [ f (x + x, y +  y) ] 定理2 (充分条件) y z x z     , 证： z = f (x + x, y +  y)− f (x, y) (0 , 1 ) = [ f x (x, y)+ ]x 1  2          f x y y y = f x (x +1 x, y +  y)x + y ( , + 2  ) − f (x, y +  y) +[ f (x, y +  y ) − f (x, y)] f x y y +[ y ( , ) + ] 若函数 的偏导数 在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微分.   lim 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 0 0 =  →  →  y x

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o △z=…=∫1(x,y)Ax+f1(x,y)△y+a△x+BA lim a=0, lim B=0 △x→>0 △x→0 △y→>0 J→>0 注意到△x+B△ax+B/,故有 Az=f(x,y)△x+f(x,y)△y+0(p) 所以函数z=f(x,y)在点(x,y)可微 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics z = f x y x f x y y = x ( , ) + y ( , ) z f x y x f x y y  = x ( , ) + y ( , )       + x +  y 所以函数 + x +   y 在点 可微.         lim 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 0 0 =  →  →  y x 注意到 , 故有 + o( )

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如,三元函数u=f(x,y,z)的全微分为 au u△y+0x au du=△x+ △z ax 习惯上把自变量的增量用微分表示,于是 au u du= ax dx+dy+ z y az 记作d.nd,nd.a dnd,ad.u称为偏微分.故有下述叠加原理 du=d utd. utd y tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics  +   x x u 推广:类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 u = f (x, y,z) d u = 习惯上把自变量的增量用微分表示,于是 d u = 记作 u u u u x y z d = d + d + d 称为偏微分.故有下述叠加原理 z z u d   + dz u 的全微分为  +   y y u z z u    dz u

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1计算函数=e在点(2,1)处的全微分. 解 03=ye az re xy x y az 2e x|(2,1) y|(2,1) d z =e dx+2e'dy=e( x+2d y) (2,1) 例2计算函数u=x+simy+ey的全微分 f du=1dx+(cos y+ zey )dy+yedz tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 计算函数 在点(2,1)处的全微分. 解 =   x z 2 2 2 (2,1) , (2,1) e y z e x z =   =   例2 计算函数 的全微分. 解 d u= y y )d 2 cos 2 1 ( + =   y z , x y y e x y xe y z z e

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、全微分在数值计算中的应用 1.近似计算 由全微分定义 A=f(x, y)Ax+f(x, y)Ay+o(p) 可知当△x及A较小时,有近似等式 △z≈dz=∫x(x,y)x+∫,(x,y)Ay (可用于近似计算;误差分析) f(x+△x,y+△y)≈f(x,y)+f(x,y)x+f,(x,y)△ (可用于近似计算) tianjin polytechnic la

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 可知当 及 较小时,有近似等式: 二、全微分在数值计算中的应用 1. 近似计算 由全微分定义 z f (x, y) x f (x, y) y o()  = x  + y  + f (x + x, y +  y) f x y x f x y y x ( , ) + y ( , ) z z f x y x f x y y   d = x ( , ) + y ( , ) d z  f (x, y) + (可用于近似计算; 误差分析) (可用于近似计算)