⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第二节偏导数 偏导数的定义及其计算法 高阶偏导数 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节 偏 导 数 一、 偏导数的定义及其计算法 二 、高阶偏导数
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、偏导数定义及其计算法 引例:研究弦在点X处的振动速度与加速度,就是 将振幅u(x,t)中的X0固定于X处,求(x0,1)关于t的 阶导数与二阶导数 xo, t) ult x tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、 偏导数定义及其计算法 引例: 研究弦在点 处的振动速度与加速度 ,就是 u(x, t) 0 o x x u 中的 固定于 处,求 一阶导数与二阶导数. ( , ) 0 u x t 将振幅 关于 t 的 X0 X0 X0
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 定义1.设函数z=f(x,y)在点(xn,y的某邻域内板限 lim ∫(x+△xy)-f(xa,J) △x→0 存在,则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y)对x 的偏导数,记为0 af a x(o, yo) ax(xo, yo) J(x0,y0);f1(x,y) 注意:f(x0,y0)= f(x+△x,y0)-f(x,y) △x→ d f(x, y,o) dx tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义1. z = f (x, y) 在点 存在,则称此极限为函数 z = f (x, y) 在点(x0 , y0 ) 对 x 的偏导数，记为 ( , ) 0 0 x y 的某邻域内极限 ; ( , ) 0 0 x x y f x0 + x x0 设函数 x ; ( , ) 0 0 x x y z ( , ) . 1 0 0 f x y x f x x y f x y x + − = → ( , ) ( , ) lim 0 0 0 0 0 ( , ) x0 y0 f 注意: x
灭串棠大学 Teaching Plan on Advanced Mathematics 同样可定义对y的偏导数 f(, yo+Ay)-f(o, yo) n △y→>0 f(x,人、 f(xo, y) V=Jo 若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x 或y偏导数存在,则该偏导数称为偏导函数,也简称 为 偏导数,记为0.0 ax'ar,ux,f(x,y),f(x,y) az af ,,z,∫(x,y),f2(x,y) dy ay tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 同样可定义对 y 的偏导数 z = f (x, y) D lim →0 = y ( , ) 0 0 f x y y 若函数 在域 内每一点 处对 x 则该偏导数称为偏导函数,也简称 为 偏导数 , ( , ) , ( , ) 2 f x y f x y y ( , ) 0 f x ( , ) x0 − f y 记为 y + y 0 y0 或 y 偏导数存在 , , , , y z y f y z (x, y)
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 例如,三元函数z=f(x,y)在点(x,y)处对x的偏导数 定义为 f(x+△x,y,z)-f(xy,x f(,v, z)=im △ f(x, y, z) (x,y,z)=?(请自己写出) tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例如, 三元函数 在点 处对 x 的偏导数 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . z = f (x, y) x x + x f (x, y,z) = ? y f (x, y,z) = ? z x 定义为 (请自己写出) (x, y)
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 二元函数偏导数的几何意义: 0/x=s、d af f(x,y y=J dx x=x 是曲线{=/(x)在点M处的切线 y=yo yo MT对x轴的斜率 f f(xo,y y y=y d y=ye 是曲线{=f(x,y)在点M处的切线M对y轴的斜率 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二元函数偏导数的几何意义: 0 0 ( , ) d d 0 0 x x f x y x x f x x y y = = = = = = 0 ( , ) y y z f x y M0 Tx 0 0 ( , ) d d 0 0 y y f x y y y f x x y y = = = = 是曲线 M0 Ty 在点 M0 处的切线 对 x 轴的斜率. 在点M0 处的切线 斜率. 是曲线 y x z 0 x Ty o Tx 0 y M0 对 y 轴的
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 注意:函数在某点各偏导数都存在,但在该点不一定连续 例如, xy x2+y2≠0 f(x, y)=x x2+y2=0 显然 f(0,0)=,f(x,0 dx x=0 f,(0,0)=,f(0,y) 0 dy 0 在上节已证f(x点(0弟不连续 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 显然 例如, + = + = = + 0 , 0 , 0 ( , ) 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y z f x y = 0 = 0 注意：函数在某点各偏导数都存在,但在该点不一定连续. 在上节已证 f ( x, 在点 y) (0 并不连续 ,0) !
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1求z=x2+3xy+y2在点(1,2处的偏导数 解法103=2x+3y,0y az =3x+2y x az 2.1+3.2=8 az 3·1+2·2=7 x(1,2) Oy(1,2) 解法2 y=2=x2+6x+4 0 8 0x(1,2) (2x+6 x 2|x=1=1+3y+y (3+2y 7 y(1,2) tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 求 2 2 z = x + 3x y + y 解法1 = x z x (1,2) z 解法2 x (1, 2) z 在点(1,2)处的偏导数. y (1, 2) z 2x + 3 y , = y z 3x + 2 y y (1, 2) z 6 4 2 = x + x + x=1 z 2 = 1+ 3y + y y=2 z
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2设z=x"(x>0,且x≠D,求证 x az 1 0z =2z y ax In x ay 证 az az J y x y az 十 x+x=2z y ax Inx ay 例3求r=x2+y2+z2的偏导数.(P14例4) 解 2x 0x2√x2+y2+z ar ar y az tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 设 z = x y ( x 0, 且 x 1）， z y z x x z y x 2 ln 1 = + 证 y z x x z y x + ln 1 例3 求 的偏导数 . (P14 例4) 解 = x r 求证 = 2 z 2 2 2 2 x + y + z 2x r x = r z z r =
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例4已知理想气体的状态方程p=RT(R为常数), 求证: ap a aT aV aT ap 证 rt ap rT P av 说明:此例表明 偏导数记号是一个 RT aV R aT 整体记号,不能看作 P、 pv aT V 分子与分母的商 R ap R P aV aT RT OV at a pn=-1 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 偏导数记号是一个 例4 已知理想气体的状态方程 求证: = −1 p T T V V p 证: , V RT p = , p RT V = = p T T V V p 说明: (R 为常数) , = V p 2 V RT − = T V p R pV RT − = −1 不能看作 分子与分母的商 ! 此例表明, 整体记号