⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节洛必达法则 型及一型未定式解法:洛必达法则 0 定义如果当x→a(或x→∞)时,两个函数 ∫(x)与F(x)都趋于零或都趋于无,那末 极限lim f(x 可能存在、也可能不.通 x→a (x→∞) F(x) 常把这种极限称为或一型未定式 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 、 型及 型未定式解法:洛必达法则 0 0 1 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) 常把这种极限称为 或 型未定式 极 限 可能存在、也可能不存在．通 与 都趋于零或都趋于无穷大，那末 如果当 或 时，两个函数 → → → → F x f x f x F x x a x x x a 第二节 洛必达法则 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理设 (1)当x→0时,函数∫(x)及F(x)都趋于零 (2)在a点的某去心邻域内f(x)及F(x)都存在 且F'(x)≠0; 3mf(x)存在或为无穷大 x→nF(x) 那末hmf(x)=im(x x→aF(x) x→a 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限 来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ); ( ) ( ) (3) lim ( ) 0; (2) , ( ) ( ) (1) 0 , ( ) ( ) ; F x f x F x f x F x f x F x a f x F x x f x F x x a x a x a = → → → → 那 末 存 在 或为无穷大 且 在 点的某去心邻域内 及 都存在 当 时 函 数 及 都趋于零 定理 设 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限 来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 证定义辅助函数 ∫( x),x≠ f1(x)= F(x),x≠a F1(x) x= a =a 在U(a,8)内任取一点x,在以a与x为端点的区间上, f1(x),F1(x)满足柯西中值定理的条件,则有 f(x)_f(x)-f(a)f'(2) F(x)F(x)-F(a)F'(5) (在x与a之间) 当x→a时,→a, lIm f(x)=A,四F(5) A x→aF(x) ∴lim f∫(x =im f∫(2) x→a F(x)5+aF'(5) 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证 定义辅助函数 , 0, ( ), ( ) 1 = = x a f x x a f x , 0, ( ), ( ) 1 = = x a F x x a F x ( , ) , 0 在U a 内任取一点 x 在以 a 与 x 为端点的区间上, ( ), ( ) , f 1 x F1 x 满足柯西中值定理的条件 则有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F x F a f x f a F x f x − − = ( ) ( ) F f = (在x与a之间) 当x → a时, → a, , ( ) ( ) lim A F x f x x a = → , ( ) ( ) lim A F f a = → . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim A F f F x f x x a a = = → → 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 注:如果(x仍属型,且f(x),F(x)满足 F'(x) 定理的条件,可以继续使用洛必达法则,即 m f(x)= lim/(x)=lim/() x-a F(x)xa F(x)x-F"() 当x→>∞时,以及x→>a,x→∞时,该法则仍然成立 f(x) f(r) m F(x)x∞F(x) 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 当x → 时,以及x → a, x → 时,该法则仍然成立. 定理的条件，可以继续使用洛必达法则，即 如果 仍属 型，且 ( ), ( ) 满足 0 0 ( ) ( ) f x F x F x f x . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim = = = → → → F x f x F x f x F x f x x a x a x a . ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim F x f x F x f x x x = → → 注： 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1求lm tanx o x->0r 解原式=im (tan x) sec x =lim 1 x→0(x) r→>0 x3-3x+20 例2求m,3-x2C0 x→1 解原式=lim 3x2-3 x→3x2-2x-1 6x m x+16x-2 2 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 解 . tan lim 0 x x x→ 求 ( ) (tan ) lim 0 = → x x x 原式 1 sec lim 2 0 x x→ = = 1. 例2 解 . 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x 求 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − = → x x x x 原式 6 2 6 lim 1 − = → x x x . 2 3 = ) 0 0 ( ) 0 0 ( 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3求Iim2 arctan 0 x→+0 解原式=im1+x2=im,x,=1 x→)+1+x 例4求im In sin ax x→0 In sin bx 解原式=im a cos(r· sin bx x→0 bcos br. SIna cos x =lim x→>0cosa 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 解 . 1 arctan 2 lim x x x − →+ 求 2 2 1 1 1 lim x x x − + − = →+ 原式 2 2 1 lim x x x + = →+ = 1. 例4 解 . lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ 求 b bx ax a ax bx x cos sin cos sin lim 0 = → 原式 = 1. ) 0 0 ( ( ) ax bx x cos cos lim →0 = 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例5求im tanx oo Ttan3x∞ 解原式=lim sec d cos< 3x 兀3sec23x3 lim 2 x→cosx 6cos 3xsin 3x im 3.T -2cos xsinx = lim sin 6x n Sin 2 2 cos 6x x→x2c0s2x 2 3. 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例5 解 . tan3 tan lim 2 x x x → 求 x x x 3sec 3 sec lim 2 2 2 → 原式 = x x x 2 2 2 cos cos 3 lim 3 1 → = x x x x x 2cos sin 6cos 3 sin 3 lim 3 1 2 − − = → x x x sin 2 sin6 lim 2 → = x x x 2cos 2 6cos6 lim 2 → = = 3. ( ) 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但与其它 求极限方法结合使用,效果更好. 例6求im tanx-x x→>0 x tanx 2 解原式=lim tanx=x sec x =lim x→>0 x-03x2 2sec xtanx 1. tanx 1 in x->0 6x 3x-0x3 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它 求极限方法结合使用，效果更好. 例6 解 . tan tan lim 2 0 x x x x x − → 求 3 0 tan lim x x x x − = → 原式 x x x x 6 2sec tan lim 2 →0 = 2 2 0 3 sec 1 lim x x x − = → x x x tan lim 3 1 →0 = . 3 1 = 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 2、0·∞,-0,0°,1°,0型未定式解法 关键将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类 型 (1)0∞型 步骤:0·∞→-·∞,或0·∞→0 例7求lmx2e2.(0.∞) 解原式=lim2=i e x→+∞2xx→+02 QO。 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2、0, − ,0 0 ,1 , 0 型未定式解法 例7 解 lim . 2 x x x e − →+ 求 ( 0 ) x e x x 2 lim →+ 原式 = 2 lim x x e →+ = = +. 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类 型 ), . 0 0 ( ( ) (1) 0型 步骤: , 1 0 . 0 1 或 0 0 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics (2)0-∞型 步骤:∞-0→ 110-0 000.0 例8求lm( .(∞0-∞) x→>0 sIn x 解原式=i x-sin d x->0y·sinx 1-coSx =lim x-0 sinx+cosr 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例8 解 ). 1 sin 1 lim( x 0 x x − → 求 ( − ) 0 1 0 1 − − . 0 0 0 0 − x x x x x sin sin lim 0 − = → 原式 x x x x x sin cos 1 cos lim 0 + − = → = 0. (2) − 型 步骤: 2004-4-10