⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第六节空间直线及其方程 空间直线的一般方程 空间直线的对称式方程与参数方程 两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例 返回 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第六节 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、空间直线的一般方程 空间直线L可以看作是两个平面和2的交线图7—55 如果两个相交的平面/1和I2的方程分别为A41x+Bu+C1z+D1=0 和42x+B2+C2+D2=0,那么直线L上的任一点的坐标应同时 满足这两个平面的方程,即应满足方程组 A1x+B1y+C1z+D1=0,( lA2x+B2y+C2Z+D2=0, 反过来,如果点M不在直线L上,那么它 不可能同时在平面I1和I2上,所以它的坐 标不满足方程组(1)因此,直线L可以用 方程组(来表示方程组()叫做空间直线/0 的一般方程 通过空间一重线L的平面有无限多个只要在这无限多个平面 中任意选取两个,把它们的方程联立起来,所得的方程组就表 示空间直线L 返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、空间直线的一般方程 空间直线L可以看作是两个平面II1和II2的交线(图7－55). 如果两个相交的平面II1 和II2 的方程分别为A1x+B1y+C1 z+D1=0 和A2x+B2y+C2 z+D2=0，那么直线L上的任一点的坐标应同时 满足这两个平面的方程，即应满足方程组 + + + = + + + = A x B y C z D 0, A x B C z D 0, 2 2 2 2 1 1 1 1 y (1) 反过来，如果点M不在直线L上，那么它 不可能同时在平面II1和II2上，所以它的坐 标不满足方程组(1). 因此，直线L可以用 方程组(1)来表示. 方程组(1)叫做空间直线 的一般方程. 通过空间一直线L的平面有无限多个，只要在这无限多个平面 中任意选取两个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表 示空间直线L. 返回 x y z o 1 2 L
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 空间直线的对称式方程与参数方程 如果一个非零向量平行于一条已知直线,这个向量就叫做这条 直线的方向向量任意知道,直线上任一向量都平行于该直线 的方向向量 由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线, 所以当直线L上一点Mx0n)和它的一方向向量s=(m,n)为 已知时,直线L的位置就完全确定了,下面我们来建立这直线 的方程 设点Mx2时直线L上的任一点,那么向量 MM与L的方向向量平行7-56 所以两向量的对应坐标成比例,由于 MoM=(x-xo, y-yo, z-z0 ),S=(m, n, p) 从而有 x-x0y-y03-列 0,(2)
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、空间直线的对称式方程与参数方程 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条 直线的方向向量. 任意知道，直线上任一向量都平行于该直线 的方向向量. 由于过空间一点可作而且只能作一条直线平行于一已知直线， 所以当直线L上一点M0 (x0 ,y0 ,z0 )和它的一方向向量s=(m,n,p)为 已知时，直线L的位置就完全确定了，下面我们来建立这直线 的方程. 设点M(x,y,z)时直线L上的任一点，那么向量 M0 M 与L的方向向量s平行(7-56). 所以两向量的对应坐标成比例，由于 M0 M =(x-x0 , y-y0 , z-z0 ),s=(m, n, p)， 从而有 . 0 0 0 p z z n y y m x x − = − = − (2) x y z o s L M0 M
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 反过来,如果点M不在直线L上,那么由于MM与不平行, 这两向量的对应坐标就不成比例因此方程组(2)就时直线L 的方程,叫做直线的对称式方程或点向式方程 直线的任一方向向量的坐标mn、p叫做这直线的一组方向 数,二向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦 由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程如设 r-xo y-yo 3 x=lott, 那么{y=y+nt, (3) z=Z0 t pi 方程组(3就是直线的参数方程
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 的方程，叫做直线的对称式方程或点向式方程. 反过来，如果点M不在直线L上，那么由于 M0 M 这两向量的对应坐标就不成比例. 因此方程组(2)就时直线L 与s不平行， 直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向 数，二向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦. 由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程. 如设 t p z z n y y m x x = − = − = − 0 0 0 那么 = + = + = + , , , 0 0 0 z z pt y y nt x x mt (3) 方程组(3)就是直线的参数方程
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1用对称式方程及参数方程表示直线 x+y+z+1=0, 2x-y+3z+4=0, 解先找出这直线上的一点(x0yx).例如,可以取x=1, 代入方程组(4),得 y+z y-3z=6 解这个二元一次方程组,得y=0,=-2 即(1,0,-2)是这直线上的一点 下面再找出这直线的方向向量 由于两平面的交线与这两平面的法线向量m1=(1,1,) n2(2,13)都垂直,所以可取
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 1 用对称式方程及参数方程表示直线 − + + = + + + = 2 3 4 0, 1 0, x y z x y z 解 先找出这直线上的一点(x0 ,y0 ,z0 ). 例如，可以取x0=1， 代入方程组(4)，得 − = + = − 3 6. 2, y z y z 解这个二元一次方程组，得y0=0, z0=-2. 即(1, 0, -2)是这直线上的一点. 下面再找出这直线的方向向量s. 由于两平面的交线与这两平面的法线向量n1 =(1,1,1)， n2 (2,-1,3)都垂直，所以可取
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics k 4-j-3k 2-13 因此,所给直线的对称式方程为 x-1 y +2 1-3 Z+2 3 得所给直线的参数方程为 x=1+4t 2-3t 返 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 4 3 . 2 1 3 1 2 1 1 1 i j k i j k s n n = − − − = = 因此，所给直线的对称式方程为 3 2 4 1 1 − + = − = x − y z 令 t x y z = − + = − = − 3 2 4 1 1 得所给直线的参数方程为 = − − = − = + 2 3 , , 1 4 , z t y t x t 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、两直线的夹角 两条直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角 设直线L1和L2的方向向量依次为s1=m,n12P1)和s2(mh2h22) 那么L1和L2的夹角应是(S12)和(12)=1S2)两者中的 锐角,因此cosg=cos(s1,2)按两向量的夹角的余弦公式, 直线L1和直线L2的夹角P可由 m,m2+n,n2+ Pip cos 2 ni +ni+ pi +n2+p2 来确定 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论 两直线L1、L2互相垂直相当与mm2+m12+p12=0; 两直线L1、L2互相平行或重合相当于
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 三、两直线的夹角 两条直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角. 设直线L1和L2的方向向量依次为s1=(m1 ,n1 ,p1 )和s2 (m2 ,n2 ,p2 )， 那么L1和L2的夹角 应是(s1 ,s2 )和(-s1 ,s2 )= -(s1 ,s2 )两者中的 锐角，因此cos =|cos(s1 ,s2 )|.按两向量的夹角的余弦公式， 直线L1和直线L2的夹角 可由 cos = 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 m n p m n p m m n n p p + + + + + + (5) 来确定. 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： 两直线L1、L2互相垂直相当与m1m2+n1n2+p1p2=0； 两直线L1、L2互相平行或重合相当于 2 1 2 1 2 1 p p n n m m = =
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2求直线1yz+3 和L2 x y+2 的夹角. 解直线L1的方向向量为s1(1,24,1);直线L的方向向量为 2=(2,2,-1) 设直线L1和L2的夹角为卯,那么由公式(5)有 1×2+(-4)×(-2)+1×( cos④ P2+(4)2 +1 2.√22+(-2)2+(-1) 所以= 返 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 2 求直线L1： 1 3 1 4 1 + = − = x − y z 和L2： 2 1 2 2 − = − + = x y z 的夹角. 解 直线L1的方向向量为s1 (1,-4,1)；直线L2的方向向量为 s2=(2,-2,-1). 设直线L1和L2的夹角为 ，那么由公式(5)有 cos = 2 2 2 2 2 1 ( 4) 1 2 ( 2) ( 1) 1 2 ( 4) ( 2) 1 ( 1) 2 + − + + − + − + − − + − = , 2 1 所以 . 4 = 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线的夹角 (0≤9<称为直线与平面的夹角图7-57),当直线与平面 2 垂直时,规定直线与平面的夹角为 设直线的方向向量为s=mn2p),平面的法 线向量为n(4B,O,直线与平面的夹角为 卯,那么卯=1-(,),因此sin co)因此sing=cos(s,),按两向量 夹角余弦的坐标表示式,有 Am+ Bn+C sIng A2+B2+C2.、m2+nx(6
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 ) 2 (0 垂直时，规定直线与平面的夹角为 称为直线与平面的夹角(图7－57)，当直线与平面 2 设直线的方向向量为s=(m,n,p)，平面的法 线向量为n=(A,B,C)，直线与平面的夹角为 ，那么 ＝| 2 -(s,n)|，因此sin |cos(s,n)|.因此sin = =|cos(s,n)|，按两向量 夹角余弦的坐标表示式，有 sin 2 2 2 2 2 2 A B C m n p Am Bn Cp + + + + + + = (6)
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 因此直线与平面垂直相当与直线的方向向量与平面的法线 向量平行,所以,直线与平面垂直相当与 AB C 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量 与平面的法线向量垂直,所以,直线与平面平行或直线在平 面上相当与Am+Bn+Cp=0 (8) 例3求过点(1,2,4)且与平面23y+2-4=0垂直的直线的方程 解因为所求直线垂直于已知平面,所以可以取已知平面的 法线向量(2,3,1)作为所求直线的方向向量由此可得所求直 线的方程为 1y+2z-4 3 返回 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 因此直线与平面垂直相当与直线的方向向量与平面的法线 向量平行，所以，直线与平面垂直相当与 p C n B m A = = (7) 因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量 与平面的法线向量垂直，所以，直线与平面平行或直线在平 面上相当与 Am+Bn+Cp=0. (8) 例 3 求过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-4=0垂直的直线的方程. 解 因为所求直线垂直于已知平面，所以可以取已知平面的 法线向量(2,-3,1)作为所求直线的方向向量. 由此可得所求直 线的方程为 1 4 3 2 2 1 − = − + = x − y z 返回
