⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第九章重积分 第一节二重积分的概念与性质 第二节二重积分的计算法 第三节三重积分 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第九章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 第二节 二重积分的计算法 第三节 三重积分
天津工大学 Teaching Plan on Advanced Mathematicso 第一节二重积分的概念和性质 一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的性质 Tianjin Polytechnic Un
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 三、二重积分的性质 二、二重积分的概念 一、问题的提出 第一节 二重积分的概念和性质
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 问题的提出 1.曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积高 特点:平顶 =f(x,y)柱体体积=? 特点:曲顶 D 曲顶柱体 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、问题的提出 １．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积*高 特点：平顶. z = f (x, y) D 柱体体积=？ 特点：曲顶
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方 法,如下动画演示 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方 法，如下动画演示．
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 步骤如下 先分割曲顶柱体的底,并 取典型小区域, 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积, (2,n) 曲顶柱体的体积 O 丿=lim →>0 ∑f(5,m)△c tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 先分割曲顶柱体的底，并 取典型小区域， 曲顶柱体的体积 lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f = = → x z y o ( , ) i i i
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 2.求平面薄片的质量 设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域 D,在点(x,y)处的面密度为P(x,y),假定 P(x,y)在D上连续,平面薄片的质量为多少? 将薄片分割成若干小块, (2,m) 取典型小块,将其近似 看作均匀薄片, △ 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ２．求平面薄片的质量 设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域 D，在点(x, y)处的面密度为( x, y)，假定 ( x, y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？ 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 x y o ( , ) i i i
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、二重积分的概念 定义设∫(x,y)是有界闭区域D上的有界函数, 将闭区域D任意分成n个小闭区域 △ △ 25 其中Aa表示第i个小闭区域,也表示它的面积, 在每个△a;上任取一点(,7), 作乘积f(5;,n)△a (i=1,2,…,n), 并作和∑f(5,)△σ, tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义 设 f (x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数， 将闭区域D任意分成 n个小闭区域 1 ， 2 , ， n， 其中 i 表示第 i个小闭区域，也表示它的面积， 在每个 i上任取一点( , ) i i ， 作乘积 ( , ) i i f i， (i = 1,2, ,n)， 并作和 i i n i i f = ( , ) 1 ， 二、二重积分的概念
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y) 在闭区域D上的二重积分, 记为f(x,p)do 即f(x,y)d=lim∑f(5,m)A1 →>0 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f (x, y) 在闭区域 D 上的二重积分， 记为 D f (x, y)d ， 即 D f (x, y)d i i n i i f = → = lim ( , ) 1 0
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 对二重积分定义的说明: (1)在二重积分的定义中,对闭区域的划分是 任意的 (2)当f(x,y)在闭区域上连续时,定义中和式 的极限必存在,即二重积分必存在 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的负值 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 对二重积分定义的说明： (1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的. (2)当 f (x, y)在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在. 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 在直角坐标系下用平行于坐标 轴的直线网来划分区域D, 则面积元素为o=dy 故二重积分可写为 ∫(x,yo=JJf(x,y)ddp tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 在直角坐标系下用平行于坐标 轴的直线网来划分区域D， 则面积元素为 d = dxdy 故二重积分可写为 = D D f (x, y)d f (x, y)dxdy x y o D