天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第八章 多元函数微分法及其应用（8.4）多元复合函数的求导法则

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第四节多元复合函数的求导法则 多元复合函数求导的链式法则 多元复合函数的全微分 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节 多元复合函数的求导法则 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 多元复合函数求导的链式法则 定理若函数u=p(),v=v(在点可导,z=f(4,)在点(x,) 处偏导连续,则复合函z=f((D,y(O 点t可导,且有链式法则 dz a du az dv dt au dt ay dt 证:设t取增量△t,则相应中间变量 有增量△u,△v, △ au (p=√(△n)2+(△v)2) tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、多元复合函数求导的链式法则 定理.若函数 z = f (u,v) 处偏导连续,则复合函 数在点 t 可导,且有链式法则 t v v z t u u z t z d d d d d d     +   = z 证: 设 t 取增量△t ,则相应中间变量 v v z u u z z     +    = + o (  ) u v 有增量 t t △u , △v

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o △0z△u,0zAν,0(p) △tu△tav△t'M(p=y(△n)2+(△v)2) 令△t→0,则有△u→>0,△ν→0, △udu△pdy △tdt△tdt 0(P)_0(p) △2+( )0 A t pV△t (△t<0时,根式前加“-”号) dz a du az dy dt au dt ay dt (全导数公式) tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 则有u → 0, v → 0, ( 全导数公式 ) t v v z t u u z t z     +     =   t o  + (  ) z u v t t ( ( ) ( ) ) 2 2  = u + v ( )  o  = (△t＜0 时,根式前加“–”号) t v t v t u t u d d , d d →   →   t v v z t u u z t z d d d d d d     +   =

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 说明若定理中f(x,)在点(,)偏导数连续减弱为偏导数 存在,则定理结论不一定成立 u v 2+y2≠0 例如:z=∫(,yv) u+y u=t. v=t 2+y2=0 易知: 00)=20)=0,omy(0,0)f(0,0)=0 但复合函数z=f(t,t) 2 d z az du az d ≠ =0·1+0·1=0 d t ou dt ay dt tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例如: z = f (u, v) = u = t , v = t 易知: 但复合函数 z = f (t, t ) 2 1 d d = t z  t v v z t u u z d d d d     +   = 01+ 01 = 0 偏导数连续减弱为偏导数 存在,则定理结论不一定成立. 2 t = , 0 2 2 2 2 2 +  + u v u v u v 0 , 0 2 2 u + v = 说明:若定理中

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 推广:设下面所涉及的函数都可微 1)中间变量多于两个的情形.例如, z=f(u,v,w),u=p(t,v=y(t),w=a(t) ∵, dv az dw dz az du a dt au dt av dt aw dt =fo+f2y+f3a tt t 2)中间变量是多元函数的情形.例如, z=∫(Uu,ν),l=φ(x,y),ν=v(x,y) az az au az av 十 ax au ax av ax for+fy 01≠ az au az av fr+5y y au ay aνa x y x y tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 推广:设下面所涉及的函数都可微 . 1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z = f (u,v,w) , = t z d d = + +  1 2 3 f f f 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, z = f (u,v) , u =  (x, y), v = (x, y) =   x z 1 1 2 1 = f   + f   1 2 2  2 = = f   + f     y z z z u v w u v x y x y t t t t u u z d d    t v v z d d    + t w w z d d    + x u u z      x v v z      + y u u z      y v v z      + u =  (t), v = (t), w = (t)

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 又如,z=f(x,v),ν=v(x,y) 当它们都具有可微条件时,有 azaf af av f+fyi X y ax ax av ax x y az f dy ov ay f2y? 注意:这里02与0∫不同, dx ax 2表示固定y对x求导,O表示固定对x求导 口诀:分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 又如, z = f (x,v), v = (x, y) 当它们都具有可微条件时, 有 x z   1 2 1 = f  + f   y z   2  2 = f   z = f x x y 注意: 这里 与 不同, x z   x f   表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 口诀 :分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 x f   = v x z   x f  

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1设z=e"sin,u=xy,=x+y,求2,0 ax ay 解 az a Ou az av ax au ax ay ax =e"sinp…y+e"cosp·1 =e ly. sin( +y)+cos(+y)I u azaz au az av ay au ay a y x yx y =e"sinx+e"cos·1 e- y[xsin(x+y)+cos(x+y) tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 设 z e sinv , u x y , v x y , u = = = + , . y z x z     求 解 x z   e v u = sin y z   e v u = sin x v v z      + e v u + cos y v v z      + e v u + cos 1 1 z u v x y x y

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2u=f(x列=c+++2,z=x3im,求Onu ax ay 解 ou af, af az ax ax az ax 2xerty++zert!+z 2xsin y =2x(1+2x sin y)et ty tx sin y r y z au af, af az ayay az ay x y =2ye- ty t +2ze ty tx cos y =2(y+x sin y cos y)e ty ta sin y tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 ( , , ) , sin , 2 2 2 2 u f x y z e z x y x y z = = = + + y u x u     求 , 解 x u   2 2 2 2 x y z xe + + = x y x y x x y e 2 2 4 2 2 2 sin 2 (1 2 sin ) + + = + x y z x y u y u   2 2 2 2 x y z ye + + = x y x y y x y y e 2 2 4 2 4 sin 2 ( sin cos ) + + = + x f   = 2 2 2 2 x y z z e + + + y f   = y z z f      + 2 2 2 2 x y z ze + + +  2 x sin y x cos y 2 

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例3设z=uv+sint,u=e,ν=c0st,求全导数az dt 解 z a du, as dv az dt au dt ay dt at =ve-usint+ cos t u v t =e(cost-sint)+cost 注意:多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解 的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题 的求导技巧与常用导数符号 tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 设 z = u v + sint , . d d t z z u v t t t t z d d t = v e e t t t t = (cos − sin )+ cos t u u z d d    = t z   + u = e t ,v = cost , 求全导数 解 + cost 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与验证解 的问题中经常遇到,下列两个例题有助于掌握这方面问题 的求导技巧与常用导数符号

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例4设n=f(x+y+x,xyz),f具有二阶连续偏导数, 求O 1,f,f2 解令u=x+y+乙,v=xyz,则 w=f∫(u,y 0W=∫;·1+f2yz x y 2x y ox fi(x+y+z, xy2)+yzf(x+y+z, xyz) 02w axa Jil·1+/2xy+yf2+pIn·1+m·xy city fu +y(x+z)fm2+xy zf22+yf tianjin polytechnic dmivendity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 , . 2 x z w x w      解 令 u = x + y + z , v = x yz, x w   w u v x y z x y z w = f (u, v) + f   yz 2 ( , ) 2 + y z f  x + y + z x yz 则 x z w    2 22 2 2 11 12 = f  + y(x + z) f  + x y z f  + y f  + f   x y 12 + f   x y 22 1 2 , f  , f 