⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第四节一阶线性微分方程 、线性方程 二、伯努利方程 小结 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节 一阶线性微分方程 一、线性方程 二、伯努利方程 三、小结
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 线性方程 阶线性微分方程的标准形式 小y +P(x)y=e(r) 当Q(x)≡0,上方程称为齐次的 当Q(x)与0,上方程称为非齐次的 例如 d x y+r d x xsint+t2,线性的; dt yy-2xy=3,y3-cosy=1,非线性的 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics P(x) y Q(x) dx dy + = 一阶线性微分方程的标准形式: 当Q(x) 0, 上方程称为齐次的. 上方程称为非齐次的. 当Q(x) 0, 一、线性方程 例如 , 2 y x dx dy = + sin , 2 x t t dt dx = + yy − 2xy = 3, y − cos y = 1, 线性的; 非线性的
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 阶线性微分方程的解法 1.线性齐次方程+P(x)y=0. (使用分离变量法) 中y P(x)d,∫q=∫P(x)t, Iny=- P(x)dx+In C, 齐次方程的通解为y=Ce P(x)dx tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics + P(x) y = 0. dx dy P(x)dx, y dy = − ( ) , = − P x dx y dy ln y = − P(x)dx + lnC, 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法)
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 2线性非齐次方程+P(x)y=Q(x) 讨论:中:「g(x)m), 两边积分y=「 Q( ax-」P(x)x, 设∫)为yx:ln=vx)-JPxt, 即y=e"xlPx).非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比:C→l(x) tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2. 线性非齐次方程 P(x) y Q(x). dx dy + = 讨论 ( ) , ( ) P x dx y Q x y dy = − 两边积分 ( ) , ( ) ln = dx − P x dx y Q x y ( ), ( ) dx v x y Q x 设 为 ln ( ) ( ) , y = v x − P x dx . ( ) − ( ) = v x P x dx 即 y e e 非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比: C u(x)
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法 实质:未知函数的变量代换 新未知函数u(x)→原未知函数y(x) 作变换 y=u(x)e P(x)dx y'=u(x)e P(x)dx P(x)dx +u(x) -p(xle tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换. 新未知函数 u(x) 原未知函数 y(x), 作变换 = − P x dx y u x e ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] , ( ) ( ) + − = − P x d x − P x d x y u x e u x P x e
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 将和y代入原方程得(x)2)=g(x) 积分得x)=gxa+c 阶线性非齐次微分方程的通解为: y=[2(r)e JP(x)d dx+cle P(x)dx P(x)de =Ce P(x)d +e -P(x)dx o(xre dx 对应齐次 方程通解 非齐次方程特解 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 将y和y代入原方程得 ( ) ( ) , ( ) u x Q x e dx C P x dx + = ( ) ( ), ( ) u x e Q x P x dx = − 积分得 一阶线性非齐次微分方程的通解为: + = − P x d x P x d x y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] Ce e Q x e dx P x d x P x d x P x d x + = − ( ) − ( ) ( ) ( ) 对应齐次 方程通解 非齐次方程特解
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1求方程 中2y =(x+1)2的通解 dx x+1 解这是一个非齐次线性方程先求对应的齐次方程的 通解 dx+地=2 dy 2y x+1 则lmy=2ln(x+1)+lnc 即y=C(x+1) tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ( 1) . 1 2 2 5 求方程 = + 的通解 + − x x y dx dy 解 例1 这是一个非齐次线性方程. 先求对应的齐次方程的 通解. 1 2 0, 1 2 + = = + − x dx y dy x y dx dy 则 ln y = 2ln( x + 1) + ln c 即 2 y = C(x + 1)
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 用常数变易法把C换成n,即令 y=l(x+1) 则 =u(x+1)2+2(x+1) d x 代入所给非齐次方程得 u=(x+1)2即a=2(x+1)2+C 故所得方程的通解为 y=(x+1)22(x+1)2+C tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 用常数变易法,把C换成u,即令2 y = u(x +1) 则 ( 1) 2 ( 1) 2 = u x + + u x + dx dy 代入所给非齐次方程,得 2 1 u = (x + 1) 即 u = x + 2 + C 3 ( 1) 3 2 故所得方程的通解为 y = x + x + 2 + C 3 2 ( 1) 3 2 ( 1)
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2如图所示,平行与y轴的动直线被曲y=f(x线 与y=x3(x≥0)截下的线段PQ之长数值上等于阴影部 分的面积,求曲线f(x) 解f(xlk=(x3-y), y= dx=x 两边求导得y+y=3x2 y=∫(x) 解此微分方程 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部 分的面积, 求曲线 . y y = f (x) ( 0) 3 y = x x f (x) ( ) ( ) , 3 2 0 f x dx x y x = − = − x ydx x y 0 3 , 两边求导得 3 , 2 y + y = x 解 解此微分方程 x y o x P Q 3 y = x y = f (x)
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o y'+y=3x eC+「3xelb =Cex+3x2-6x+6, 由yl=0=0,得C=-( 所求曲线为y=3(-2e-+x2-2x+2) tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics + = − y e C x e dx dx dx 2 3 3 6 6, 2 = + − + − Ce x x x | 0, 由 y x=0= 得 C = −6, 所求曲线为 3( 2 2 2). 2 = − + − + − y e x x x 2 y + y = 3x