⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第六节可降阶的高阶微分方程 y)=f(x)型的微分方程 二、y=f(x,y)型的微分方程 三、y"=f(y,y)型的微分方程 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第六节 可降阶的高阶微分方程 ( ) ( ) y f x n = y = f (x, y ) y = f ( y, y ) 一、 型的微分方程 二、 型的微分方程 三、 型的微分方程
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o y=f(x)型 特点:右端仅含有自变量 解法:把y作为新的未知数,则上式就是新未 知数得一阶微分方程。两边积分得: ,(n-1) f(x)c+CI 同理可得:p")-=∫f(x+ck+C2 依次类推,得到含n个任意常数得通解 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解法： 特点： 右端仅含有自变量x ( ) ( ) y f x n 一、 = 型 把 作为新的未知数，则上式就是新未 知数得一阶微分方程。两边积分得： (n−1) y 1 ( 1) y f (x)dx C n = + − 同理可得： 1 2 ( 2) y f (x)dx C dx C n = + + − 依次类推，得到含n个任意常数得通解
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1求微分方"=c2x-cosx的通解 解对所给方程接连积分三次,得 sinx+C y'==e+cosx +Cx+C y=re+sinx+Cx+C2x+c C tianjin polytechnic la
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 cos . 求微分方程y = e 2x − x的通解 解 对所给方程接连积分三次，得 y e x C x = − sin + 2 1 2 2 2 cos 4 1 y e x Cx C x = + + + 2 3 2 1 2 sin 8 1 y e x C x C x C x = + + + + = 2 1 C C
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 二、y"=f(x,y)型得微分方程 特点:右端不显含未知数 解法:令y=p则==p 从而原方程成为=f(x,p) 即=gxcC)解其通解为=g(x,C d x 对其进一步积分,得到原方程得通解为 y=o(x,C)dx+C2 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 右端不显含未知数y 令y = p p dx dp 则y = = 特点： 解法： 从而原方程成为p = f (x, p) ( , ) 解其通解为p = x C1 ( , ) C1 x dx dy 即 = 对其进一步积分，得到原方程得通解为 1 2 y = (x,C )dx +C 二、 y = f (x, y ) 型得微分方程
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2求微分方程(1+x2)y"=2xy满足初始条件 yn=1,y-=3的特解 解设y=n,代入方程并分离变量得 dp 2x d x p 1+x 两端积分,得l川=l+x2)+C 即 P=y=C1(1+x2)(C1=±e) tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 求微分方程 (1+ x ) y = 2xy 2 满足初始条件 1, 3 0 0 = = x= x= y y 的特解. 解 设y = p,代入方程并分离变量得 dx x x p dp 2 1 2 + = 两端积分，得 ln p = ln(1+ x ) + C 2 即 (1 ) 2 1 p = y = C + x ( ) 1 c C = e
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 由条件y==3,得C1=3, 所以 y=3(+x2) 两端再积分,得 y=x+3x+ C2 又由条件=1,得C2=1 于是所求得特解为 y=x+3x+1 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 由条件y x=0 = 3,得 3, C1 = 所以 3(1 ). 2 y = + x 两端再积分，得 2 3 y = x + 3x +C 又由条件y x=0 = 1,得 1, C2 = 于是所求得特解为 3 1 3 y = x + x +
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o =f(y,y)型得微分方程 特点:整个方程不显含自变量 解法:令y=p则由复合函数得求导法则,得 dx dy dx中 故原方程就成为=f(,P) 此方程为变量、p得一阶微分方程,其邂解为 y=p=o(y,C1b故通解为∫ x+c P(, CD tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 特点： 整个方程不显含自变量x 解法： 令y = p 则由复合函数得求导法则，得 dy dp p dx dy dy dp dx dp y = = = 故原方程就成为 f ( y, p) dy dp p = 此方程为变量y、p得一阶微分方程，其通解为 ( , ), C1 y = p = y 故通解为 2 1 ( , ) x C y C dy = + 三、 y = f ( y, y ) 型得微分方程
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例3求方程y”-y2=0的通解 解设y=p(y),则y"=p P 代入原方程得yP的 P2=0,即P(y dP dh dP 由y dp P=0,可得P=C1y y dx 原方程通解为y=C2e tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 0 . 求方程 yy − y 2 = 的通解 解 , dy dP 设 y = p( y), 则 y = p 代入原方程得 0, 2 − P = dy dP y P ( − P) = 0, dy dP 即 P y 由 − P = 0， dy dP y , 1 可得 P = C y . 1 2 C x 原方程通解为 y = C e , 1 C y dx dy = 例3
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 四、恰当导数方程 特点左端恰为某一函数Φ(x,y,y,…,ym1) 对x的导数,即,Φ(x,y,y,…,y)=0. d 解法:类似于全微分方程可降低一阶 Φ(x,y,y,…,yk (n-1) = 再设法求解这个方程 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 特点 , ( , , , , ) 0. ( , , , , ) ( 1) ( 1) = − − n n x y y y dx d x x y y y 对 的导数 即 左端恰为某一函数 解法：类似于全微分方程可降低一阶 ( , , , , ) , ( 1) x y y y C n = − 再设法求解这个方程. 四、恰当导数方程
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例3求方程y"+y12=0的通解 解将方程写成,(Jy)=0, 故有y'=C1,即y=Cx, 积分后得通解 y=CIx+ C2. 注意:这一段技巧性较高关键是配导数的方程 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 0 . 求方程 yy + y 2 = 的通解 解 将方程写成 ( yy) = 0, dx d , C1 故有 yy = , 1 即 ydy = C dx 积分后得通解 . 1 2 2 y = C x + C 注意: 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程. 例 3