天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第六章 定积分的应用（6.2）定积分在几何学上的应用

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节定积分在几何学上的应用 、平面图形的面积 、体积 、平面曲线的弧长 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节 定积分在几何学上的应用 一、平面图形的面积 二、体积 三、平面曲线的弧长 返回

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 平面图形的面积 1、直角坐标系情形 y=f() y=/2(x) o a x+△ xb x b 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 A=f(x)dx A=1f2(x)-f1(x)

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、平面图形的面积 x y o y = f (x) a b x y o ( ) y = f 1 x ( ) y = f 2 x a b 曲边梯形的面积 =  b a A f (x)dx 曲边梯形的面积 =  − b a A [ f2 (x) f1 (x)]dx xx + x xx 1 、直角坐标系情形

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1计算由两条抛物线y2=x和y=x2所围成的图形 的面积 解两曲线的交点 选x为积分变量x∈[0,1 0,20,40,60,6 面积元素dA=(x-x2)d 2 3 A=lWx-x dx

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 1 计算由两条抛物线 y = x 2 和 2 y = x 所围成的图形 的面积. 解 两曲线的交点 (0,0) (1,1) 选 x 为积分变量 x[0,1] 面积元素 dA ( x x )dx 2 = − A ( x x )dx 2 1 0 =  − 1 0 3 3 3 2 2 3       = − x x . 3 1 = 2 y = x 2 x = y

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2计算由曲线y2=2x和直线y=x-4所围成的图 形的面积 解两曲线的交点 y=x-4 2 =2x y=r →(2,-2),(8,4) 选y为积分变量y∈|-2,4 dA=y+4-v A=dA4=18. 2

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 2 计算由曲线 y 2x 2 = 和直线 y = x − 4所围成的图 形的面积. 解 两曲线的交点  (2,−2), (8,4).    = − = 4 2 2 y x y x 选 y 为积分变量 y[−2, 4] dy y dA y       = + − 2 4 2 18. 4 2 = = − A dA y 2x 2 = y = x − 4

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics x 如果曲边梯形的曲边为参数方程 y=y(t 曲边梯形的面积A=v()r(ld (其中t和t2对应曲线起点与终点的参数值) 在[t1,t2](或[t2,1])上x=q()具有连续导数, y=y(t)连续

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 如果曲边梯形的曲边为参数方程    = = ( ) ( ) y t x t   曲边梯形的面积 ( ) ( ) . 2 1  =  t t A  t  t dt （其中 1 t 和 2 t 对应曲线起点与终点的参数值） 在[ 1 t , 2 t ]（或[ 2 t , 1 t ]）上x = (t)具有连续导数， y =(t)连续

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 2 2 例3求椭圆,+,=1的面积 x s a cos t 解椭圆的参数方程 xxix y=bint 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 A=4ydx= 4 bsin td(a cos t) 0 =4ab sin tdt =ab

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 3 求椭圆 1 2 2 2 2 + = b y a x 的面积. 解 椭圆的参数方程    = = y b t x a t sin cos 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积． =  a A ydx 0 4  = 0 2 4 bsin td(acost) ab tdt   = 2 0 2 4 sin = ab. x x+dx

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 2、极坐标系情形 设由曲线r=q(6)及射线O=a、 r=p() θ=B成一曲边扇形,求其面 积.这里,(6) 在a,B上连续,且p()≥0 园e+d0 面积元素dA=q(O)2d 曲边扇形的面积A=mld

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设由曲线 r = ( )及射线 = 、  =  围成一曲边扇形，求其面 积．这里，( ) 在[, ]上连续，且( )  0． o x d dA   d 2 [ ( )] 2 1 面积元素 = 曲边扇形的面积 [ ( )] . 2 1 2      A d  = r = ( ) 2、极坐标系情形     + d

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4计算阿基米德螺线p=a(a>0)上相应于6从 0到2x的一段弧与极轴所围平面图形的面积 解dA=(a0)d0 于是所求面积为 de 2丌 =a6 A a262d0 a2「63 2|3 3

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 4 计算阿基米德螺线  = a (a  0)上相应于 从 0到2 的一段弧与极轴所围平面图形的面积. 解 = (a) d 2 1 dA 2 于是所求面积为 2 3 2 0 2 3 2 2 0 2 3 4 2 3 2 1       a a A a d  =      = =  d   = a 2a

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例5求心形线r=a(1+c0所围平面图形的面积 (a>0) 解dA=a(1+c0s0)d6 r=a(1+c0s6) 利用对称性知 6 A=2·a2(1+cosb)2db 0 =a2(1+2c0s0+cos20)d0 a =0+2sin 0+-sin 20 T 2 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 5 求心形线r = a(1+ cos )所围平面图形的面积 (a  0). 解 a (1 cos ) d 2 1 dA 2 2 = + 利用对称性知 d . 2 3 2 = a  d 2 (1+ cos )   =  0 2 2 1 A 2 a (1 2cos cos  )d 2  + +  = 0 2 a       =  +  + sin 2 4 1 2sin 2 2 3 a  0 返回  r = a(1+ cos ) 2a

⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、体积 1、旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转 周而成的立体.这直线叫做旋转轴 圆柱 圆锥 圆台

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转 一周而成的立体．这直线叫做旋转轴． 圆柱 圆锥 圆台 二、体积 1 、旋转体的体积