天津工大学 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第二节微积分基本公式 一、变速直线运动中位置函数与速度 函数的联系 二、积分上限函数及其导数 三、牛顿—莱布尼茨公式 返回 Tianjin Polytechnie University
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节 微积分基本公式 三、牛顿—莱布尼茨公式 一、变速直线运动中位置函数与速度 函数的联系 二、积分上限函数及其导数 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 变速直线运动中位置函数与速度函数的 联系 设某物体作直线运动,已知速度v=v(t)是时间间隔 IT,T2上t的一个连续函数,且v(t)≥0,求物体在这段 时间内所经过的路程 变速直线运动中路程为 v(t)dt 另一方面这段路程可表示为(T2)-(T1 v(tdt=S(T)-S(T) 其中s(t)=v(t) 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 变速直线运动中路程为 2 1 ( ) T T v t dt 设某物体作直线运动，已知速度 v = v(t)是时间间隔 [ , ] T1 T2 上t的一个连续函数，且v(t) 0，求物体在这段 时间内所经过的路程. 另一方面这段路程可表示为 ( ) ( ) 2 T1 s T − s ( ) ( ) ( ). 2 1 2 1 v t dt s T s T T T = − 其中 s(t) = v(t). 一、变速直线运动中位置函数与速度函数的 联系 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 积分上限函数及其导数 设函数f(x)在区间[a,b上连续,并且设x为a,b 上的一点,考察定积分 ∫(x)dx=∫f(yd 如果上限x在区间a,b上任意变动,则对于每 个取定的x值,定积分有一个对应值,所以它在 a,b上定义了一个函数, 记Φ(x)=「f(r)t.积分上限函数
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设函数 f (x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b] 上的一点， 考察定积分 x a f (x)dx = x a f (t)dt 记 ( ) ( ) . = x a x f t dt 积分上限函数 如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每 一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在 [a,b]上定义了一个函数， 二、积分上限函数及其导数
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 积分上限函数的性质 定理1如果∫(x)在Ia,b上连续,则积分上限的函数 d(x)=f(M在上具有导数,且它的导数是 a'(x)=f(tOdt=f(x)(asxsb 证(x+△x)=nf()t A①=Φ(x+△x)-①(x) Φ(x) Oaxx+△bx
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics a b x y o 定理１ 如 果 f (x) 在[a,b]上连续，则积分上限的函数 x f t dt x a ( ) = ( ) 在 [a,b] 上 具 有 导 数 ， 且 它 的 导 数 是 ( ) f (t)dt f (x) dx d x x a = = (a x b) 积分上限函数的性质 x + x 证 x x f t dt x x a + ( + ) = ( ) = (x + x) − (x) f t dt f t dt x a x x a = − + ( ) ( ) (x) x
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics ∫(t+。f(ot-mf(tr x+△r I f(t)dt, 由积分中值定理得 AΦ=∫()△xξ∈Ix,x+△x x+△bx △Φ △Φ f(4), lim f(s) △ △x→>0△x△x0 △x→>0,5→>x Φ(x)=∫(x)
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics f t dt f t dt f t dt x a x x x x = a + − + ( ) ( ) ( ) ( ) , + = x x x f t dt 由积分中值定理得 = f ( )x [x, x + x], f ( ), x = lim lim ( ) 0 0 f x→ x x→ = x → 0, → x (x) = f (x). a b x y o x + x (x) x
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 补充如果f()连续,a(x)、b(x)可导,则F(x)=f(O)d 的导数F(x)为 F(x)=Cm()k=(x)(x)-(x)(x) 证F(x) b(x) aux Sou ' f(tydt-o f()dt, F'(x)=fb(x)o'(x)-fla(x)k'(x)
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 如果 f (t) 连续， 、 可导，则 的导数 为 补充 证 F x f t dt a x b x ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 = + f t dt b x = ( ) 0 ( ) ( ) , ( ) 0 f t dt a x − F(x) = f b(x)b(x) − f a(x)a(x) = = f b(x)b(x) − f a(x)a(x) ( ) ( ) ( ) ( ) b x a x f t dt dx d F x a( x) b( x) = ( ) ( ) ( ) ( ) b x a x F x f t dt F( x)
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理2(原函数存在定理) 如果∫(x)在[a,b上连续,则积分上限的函数 0(x)=/(n就是f(x)在ab上的一个原函数 定理的重要意义: (1)肯定了连续函数的原函数是存在的 (2)初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联 系 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理2（原函数存在定理） 如 果 f (x)在[a,b]上连续，则积分上限的函数 x f t dt x a ( ) = ( ) 就是 f (x)在[a,b]上的一个原函数. 定理的重要意义： （1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联 系. 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 牛顿一莱布尼茨公式 定理3(微积分基本公式) 如果F(x)是连续函数f(x)在区间,b上的一个原 函数,则f(x)k=F(b)-Fa) 证 已知f(x)是f(x)的一个原函数, 又:a(x)=(oM也是f(x)的一个原函数 ∴F(x)-Φ(x)=C x∈
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理 3（微积分基本公式） 如果F( x)是连续函数 f ( x)在区间[a,b]上的一个原 函数，则 f (x)dx F(b) F(a) b a = − . 又 x f t dt x a ( ) = ( ) 也是 f (x)的一个原函数, 已知F( x)是 f (x)的一个原函数， F(x) − (x) = C x[a,b] 证 三、牛顿—莱布尼茨公式
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 令x=a→F(a)-(a)=C 0(a)=/(Mt=0→Fa)=C, F(x)-f(oMt=C, f(txt=F(x)-F(a) b 令x=b→Jf(x)=F(b)-F(a) 牛顿一莱布尼茨公式
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 令 x = a F(a) − (a) = C, ( ) = ( ) = 0 a f t dt a a F(a) = C, f (t)dt F(x) F(a), x a = − F(x) f (t)dt C, x a − = 令 x = b f (x)dx F(b) F(a). b a = − 牛顿—莱布尼茨公式
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics ∫f(x)d=F(b)-F(a)=F(x此 微积分基本公式表明: 一个连续函数在区间[a,b上的定积分等于它 的任意一个原函数在区间[a,b上的增量 求定积分问题转化为求原函数的问题 b 注意当a>b时,”f(x.=F(b)-F(a)仍成立
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 微积分基本公式表明： f (x)dx F(b) F(a) b a = − b a = F(x) 一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它 的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量. 注意 当a b时， f (x)dx F(b) F(a) b a = − 仍成立. 求定积分问题转化为求原函数的问题