⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节函数的极值与最大值 最小值 函数的极值及其求法 最大值最小值问题 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节 函数的极值与最大值 最小值 一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 函数极值及其求法 定义设函数(x)在区间a,b)内有定义x是 (a,b)内的一个点 如果存在着点的一个邻域对于这邻域内的 任何点x,除了点x外,f(x)f(x0)均成立就称 f(x1)是函数(x)的一个极小值 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、函数极值及其求法 ( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , ( , ) , ( ) ( , ) , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就 称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 内的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x a b f x a b x 定义 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的 点称为极值点 定理1(必要条件)设∫(x)在点x处具有导数,且在x 处取得极值,那末必定∫(x0)=0 定义使导数为零的点(即方程∫(x)=0的实根叫 做函数∫(x)的驻点 注意可导函数∫(x)的极值点必定是它的弦点, 但函数的驻点却不一是是极值点 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设 f ( x)在 点 x0处具有导数,且 在 x0 处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 定理1(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f x = 注意: . ( ) , 但函数的驻点却不一定是极值点 可导函数 f x 的极值点必定是它的驻点 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的 点称为极值点. 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理2(第一充分条件) (1)如果x∈(x0-6,x0),有f(x)>0;而x∈(x0,x0+) 有∫(x)0,则∫(x)在x处取得极小值 (3)如果当x∈(x0-6,x)及x∈(x0,x+0)时,f(x) 符号相同,则∫(x)在x处无极值 (是极值点情形) 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics (1)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + , 有 ( ) 0 ' f x ，则 f ( x)在 0 x 处取得极大值. (2)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f ( x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) 0 0 x x − x 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符号相同,则 f (x)在 0 x 处无极值. 定理2(第一充分条件) x y o x y x0 o 0 x + − − + (是极值点情形) 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics (不是极值点情形) 求极值的步骤: 1)求导数∫(x); (2)求驻点,即方程∫(x)=0的根; (3)检查∫(x)在驻点左右的正负号,判断极值点; (4)求极值 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics x y o x y o 0 x 0 x + − − + 求极值的步骤: (1) 求导数 f (x); (2)求驻点，即方程 f (x) = 0的根; (3) 检查 f (x) 在驻点左右的正负号,判断极值点; (4) 求极值. (不是极值点情形) 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1求出函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值 解f(x)=3x2-6x-9=3(x+1(x-3) 令f(x)=0,得驻点x1=-1,x2=3.列表讨论 (-∞,-1) (-1,3)3(3,+∞) ∫(x) ∫(x)个 极大值 极 值 极大值∫(-1)=10,极小值∫(3)=-22 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 解 ( ) 3 9 5 . 求出函数 f x = x 3 − x 2 − x + 的极值 ( ) 3 6 9 2 f x = x − x − 令 f (x) = 0， 1, 3. 得驻点 x1 = − x2 = 列表讨论 x (−,−1) − 1 (−1,3) 3 (3,+) f (x) f (x) + − + 0 0 极 大 值 极 小 值 极大值 f (−1)= 10, 极小值 f (3) = −22. = 3(x + 1)( x − 3) 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理3(第二充分条件)设f(x)在x处具有二阶导数, 且f(x)=0,∫(x)≠0,那末 (1)当∫(x0)0时,函数∫(x)在x处取得极小值 证(1)∵∫"(x)=lim f(x+△x)-f(x) f(x)=0, 当Ax>0时,有f(x+△x)<f(x)=0, 所以,函数f(x)在x0处取得极大值 同理可证(2) 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 设 f ( x)在x0处具有二阶导数, 且 ( ) 0 0 ' f x = , ( ) 0 0 '' f x , 那末 (1)当 ( 0 ) 0 '' f x 时, 函数 f ( x)在x0处取得极大值; (2)当 ( 0 ) 0 '' f x 时, 函数 f ( x)在x0处取得极小值. 定理3(第二充分条件) 证 (1) x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 0, 故f (x0 + x) − f (x0 )与x异号， 当x 0时， ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f = 0, 当x 0时， ( ) ( ) 0 x0 有f x + x f = 0, 所以，函数 f (x)在x0 处取得极大值． 同理可证(2). 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点 2 例2求出函数∫(x)=1-(x-2)的极值 解f(x)=-3(x-2)3(x≠2) 当x=2时,f(x)不存在 但函数f(x)在该点连续 当x0; 当x>2时,∫(x)<0 f(2)=1为f(x)的极大值 「返回 2004-4-10 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 解 ( ) 1 ( 2) . 3 2 求出函数 f x = − x − 的极值 ( 2) ( 2) 3 2 ( ) 3 1 = − − − f x x x 当x = 2时, f (x)不存在. 当x 2时，f (x) 0; 当x 2时，f (x) 0. f (2) = 1为f (x)的极大值. 但函数f (x)在该点连续. 注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点. 2004-4-10 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 最大值最小值问题 若函数∫(x)在{a,b]上连续,除个别点外处处可导 并且至多有有限个导数为零的点,则∫(x)在a,b 上的最大值与最小值存在 b x b x 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics o x y o x y a b o x y a b a b . ( ) [ , ] ( ) [ , ] 上的最大值与最小值存在 并且至多有有限个导数为零的点，则 在 若函数 在 上连续，除个别点外处处可导， f x a b f x a b 二、最大值最小值问题 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 步骤 1.求驻点和不可导点 2设fx)在(a,b)内的驻点为x1,x2…,xm,则比较fa, fx),…,f(xn),fb)的大小,其中最大的便是(x)在a,b上的 最大值,最小的便是fx)在|ab上的最小值 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最 值(最大值或最小值) 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 步骤: 1.求驻点和不可导点; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最 值.(最大值或最小值) 2 设f(x)在(a,b)内的驻点为 x1 , x2 , … xn , 则比较f(a), f(x1 ), … , f(xn ), f(b)的大小,其中最大的便是f(x)在[a,b]上的 最大值, 最小的便是f(x)在[a,b]上的最小值． 2004-4-10