天津工业大学数学系：《高等数学》课程电子教案（PPT课件）第七章 空间解析几何与向量代数（7.1）向量及其线性运算

⑩串小求太 eaching plan on Advanced Mathematics o 第七章空间解析几何与向量代数 第一节向量及其线性运算 第二节数量积向量积*混合积 第三节曲面及其方程 第四节空间曲线及其方程 第五节平面及其方程 第六节空间直线及其方程 tianjin Palytechaie moviwserdity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 向量及其线性运算 第二节 数量积 向量积 *混合积 第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程

⑩串小求太 eaching plan on Advanced Mathematics o 第一节向量及其线性运算 向量概念 向量的线性运算 、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 返回 tianjin Palytechaie moviwserdity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第一节 向量及其线性运算 一、向量概念 二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系 四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影 返回

⑩串小求太 eaching plan on Advanced Mathematics o 向量概念 向量:有向线段A 符号表示:AB,U,b,C,等 向量的大小:长度的值 向量的方向:箭头方向 自由向量:只研究大小与方向,与起始点无关 自由向量的相等:大小相等且指向相同 向量的模:向量的长度.AB|,a 单位向量:模为1的向量 零向量:模等于零的向量,其方向任意 向量平行:两个非零向量的方向相同或者相反 k个向量共面:k(2)个有公共起点的向量的k个终点和起点 在一个平面上 返回 tianjin Palytechaie moviwserdity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、向量概念 向量：有向线段. 符号表示： AB ， a ， ， ，等.  b  c  向量的大小：长度的值. 向量的方向：箭头方向. 自由向量：只研究大小与方向，与起始点无关. 自由向量的相等：大小相等且指向相同. 向量的模：向量的长度. | | AB ， | | a  单位向量：模为1的向量. 零向量：模等于零的向量，其方向任意. 向量平行：两个非零向量的方向相同或者相反. k个向量共面：k( 2)个有公共起点的向量的k个终点和起点 在一个平面上.  返回

⑩串小求太 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 二、向量的线性运算 1.向量的加减法 atb 加法:a+b=C (1)三角形法则 (2)平行四边形法则 b 向量的加法符合下列运算规律: a+b (1)交换律:i+b=b+d (2)结合律:+b+C=(a+b)+C=a+(b+C) 多个向量相加,可以按照三角形法则 负向量大小相等但方向相反的向量 7any能

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、向量的线性运算 1. 向量的加减法 加法： a b c    + = a  b  a  b a b    + a b   a +b   + (2) 平行四边形法则 (1) 三角形法则 向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a.     + = + （2）结合律： a b c a b c       + + = ( + ) + a (b c).    = + + 多个向量相加，可以按照三角形法则. 负向量：大小相等但方向相反的向量. a  a  −

⑩串小求太 eaching plan on Advanced Mathematics o 减法:a-b=+(-b) a+b b b C=a+(-b) a-b 特例:l+(-a)=0 tianjin Palytechaie moviwserdity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics a b a ( b)     减法： − = + − a b   b  − b  − a b c a b      = − = + (− ) c  a  b  a b   + a b   − ( ) 0.    特例： a + −a =

⑩串小求太 eaching plan on Advanced Mathematics o 2.向量与数的乘法 向量a与实数的乘积记作 (1)九>0,M与a同向,|=元|a (2)=0,a=0 (3)4<0,饭与反向A|a 数与向量的乘积符合下列运算规律: (1)结合律(d)=山(a)=(4)l (2)分配律(+)d=+d n(a+b=na+nb tianjin Palytechaie moviwserdity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2. 向量与数的乘法 向量 a 与实数 的乘积记作   a   (1)   0, a   与a 同向，| a | | a |    =  (2)  = 0, 0   a = (3)   0, a   与a 反向，| a | | | | a |    =   a  a  2 a  2 1 − 数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： ( a) ( a)     =   a  = () （2）分配律： a a a    ( + ) =  +  a b a b     ( + ) =  + 

⑩张串潆太 eaching plan on Advanced Mathematics o 例1在平行四边形ABCD中设AB=d,AD=b 试用a和b表示向量M4、MB、MC和MD, 这里M是平行四边形对角线的角交点 D C 解由于平行四边形的对角线 互相平分,所以 atb=ac=2AM. b 即-(+b)=2AM, 于是 M=-1(a+6.4 B 2 因为MC=-MA,所以M=a+b) 由于MB=-MD,所以MB=(-b2-以 又因-a+b=BD=2MD,所以MD=

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics A B D C a  b  M . , , 例1 在平行四边形ABCD中，设 AB a  = AD b  = 试用 a 和 表示向量 、 、 和  b  MA MB 这里M是平行四边形对角线的角交点. MC MD 解 由于平行四边形的对角线 互相平分, 所以 a + b = AC = 2AM,   即 − (a + b) = 2AM,   于是 ( ). 2 1 MA a b   = − + 因为 MC = −MA, 所以 ( ). 2 1 MC a b   = + 又因− a + b = BD = 2MD,   所以 ( ). 2 1 MD b a   = − 由于 MB = −MD, 所以 ( ). 2 1 MB a b   = −

⑩串小求太 eaching plan on Advanced Mathematics o 设E表示与非零向量d同方向的单位向量,按照向量与数 的乘积的规定, = 上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向 量同方向的单位向量 两个向量的平行关系 定理设向量a≠0,那么,向量b平行于a的充分必 要条件是:存在唯一的实数九,使b=Ad 7any能

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics a a a e    =| | . | | a e a a    = 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向 量同方向的单位向量. 设 表示与非零向量 同方向的单位向量，按照向量与数 的乘积的规定， a e  a  两个向量的平行关系 定理 设向量 ，那么，向量 平行于 的充分必 要条件是：存在唯一的实数 ，使 . a  0  b  a   b a   = 

⑩串小求太 eaching plan on Advanced Mathematics o 证充分性显然; 必要性设bd取2|= 当b与a同向时久取正值, 当b与反向时取负值, 即有b=1d 此时b与间向,且1=1== 九的唯一性 设b=A,又设b=, 两式相减,得(x-1)a=0,即-山l=0 l≠0,故-山=0,即=A tianjin Palytechaie moviwserdity

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证 充分性显然； 必要性 a  0，   a  b ‖  设 , a b   取  = b  当 与 a 同向时 取正值，   当 b 与 反向时 取负值，  a   b a.   即有 =  a a    =  a a b    = b .   此时 b 与 同向，且 =  a    的唯一性 b a，   设 =  b a，   又设 =  ( ) 0，   两式相减，得  −  a = − a = 0，  即   故  −  = 0， 即  = 

⑩串小求太 eaching plan on Advanced Mathematics o 点P←→向量OP=xi…实数x-0 p X 轴上点P的坐标为x的充分必要条件是OP=xi 返回 7ianjie Polytechnic bmiuen ity N Wue

Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics ． ． O i P x x 点P 向量 OP = xi 实数x 轴上点P的坐标为x的充分必要条件是 OP = xi. 返回