⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第六节极限存在准则两个重要极限 极限存在准则 准则|如果数列xn,Jn及乙满足下列条件: (1)yn≤xn≤zn(=1,2,3…) (2)lim yn=a, liman =a, n→00 那末数列xn的极限存在,且 limx=a 证∵yn→>a,zn→a," VE>0,N1>0,N2>0,使得 当n>N时恒有yn-aN时恒有zn-a<E
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 极限存在准则 准则Ⅰ 如果数列 n n x , y 及 n z 满足下列条件: (2) lim , lim , (1) ( 1,2,3 ) y a z a y x z n n n n n n n n = = = → → 那末数列xn的极限存在, 且 xn a n = → lim . 证 y a, z a, n → n → 0, N1 0, N2 0, 使得, 1 n N y − a 当 时恒有 n , 2 n N z − a 当 时恒有 n 第六节 极限存在准则 两个重要极限
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 取N=max{N1,N2},上两式同时成立, -8N时,恒有 a-8<yn<xns<a+e, 即xn-a<E成立, ∴.limy.=a n n→0 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics a − y a + , 即 n a − z a + , n max{ , }, 取 N = N1 N2 上两式同时成立, 当n N时, 恒有 a − y x z a + , n n n 即 x − a 成立, n lim x a. n n = → 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 准则|′如果当x∈U(x)(或x>M)时,有 (1)g(x)≤∫(x)≤h(x), (2)lim g(x)=A, lim h(x)=A, x→>x0 x→x0 (x→>∞) (x→∞) 那末lim∫(x)存在,且等于A →x 0 x→0 准则和准则I称为夹逼准则 作为准则r的应用,下面证明一个重要的极限: sinx lim x→>0xC 首先注意到函数 SIn 对于一切≠0都有意义
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 准则Ⅰ′ 如果当 ( )0 0 x U x (或 x M )时,有 (2) lim ( ) , lim ( ) , (1) ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) 0 0 g x A h x A g x f x h x x x x x x x = = → → → → 那末 lim ( ) ( ) 0 f x x x x → → 存在, 且等于A. 准则 I和准则 I'称为夹逼准则. 作为准则 I 的应用,下面证明一个重要的极限: 1 sin lim 0 = → x x x 首先注意到函 数 对于一切 0都有意义 sin , x x x
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 两个重要极限 sInx (1)im-=1 x→>0y 证明设单位圆O,圆心角∠AOB=x,(0<x<3) 作单位圆的切线,得△CO 扇形OAB的圆心角为x, △OAB的高为BD, D 于是有sinx=BD,x=弧AB, tanx=AC, sInx sinx<x<tanx,即cosx< <
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics (1) 1 sin lim 0 = → x x x 证明 ) 2 , , (0 设单位圆 O 圆心角AOB = x x tan , sin , , x AC x BD x AB = 于是有 = = 弧 作单位圆的切线，得ACO. 扇形OAB的圆心角为x, OAB的高为BD, A C o B D sin x x tan x, 1, sin cos x x 即 x 两个重要极限
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 上式对于-0x tan x 例11求lm 0x
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 0 . 2 上式对于 也成立 − x , 2 当 0 时 x 0 cos x − 1 = 1 − cos x 2 2sin2 x = 2 ) 2 2( x , 2 2 x = 0, 2 lim 2 0 = → x x lim(1 cos ) 0, 0 − = → x x limcos 1, 0 = → x x lim1 1, 0 = x→ 又 1. sin lim 0 = → x x x 例11 求 x x x tan lim →0
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics tanx SInx 解lim =lim x→0x x→ x cos x sInx →0xx→0cosy 1-cos x 例12求lm x→0 2 2 sin SIn 解原式=lm 2 =-lim x→>0 2x->0 SIn 2 2x→0x 2 2
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 1 cos 1 lim sin lim cos sin 1 lim tan lim 0 0 0 0 = = = → → → → x x x x x x x x x x x x 解 例12 求 . 1 cos lim 2 0 x x x − → 解 原式 2 2 0 2 2sin lim x x x→ = 2 2 0 ) 2 ( 2 sin lim 2 1 x x x→ = 2 0 ) 2 2 sin lim( 2 1 x x x→ = 2 1 2 1 = . 2 1 =
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics arcsin x 例13求lm x→0 解令t=sinx,则x=sin,当x→Q时,有t→>0 于是由复合函数的极算法则得 arcsin m x→>0 x→0smnt 2.单调有界准则 如果数列x满足条件 x1≤x2…≤xn≤xn1≤…,单调增加 单调数列 x1≥x2…≥xn≥xn+1≥…,单调减少 准则Ⅱ单调有界数列必有极限
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例13 求 x x x arcsin lim →0 解 于是由复合函数的极限运算法则得 令t = sin x,则x = sint,当x → 0时,有t → 0. 1 sin lim arcsin lim 0 0 = = → → t t x x x x 2.单调有界准则 如果数列x n满足条件 , x1 x2 xn xn+1 单调增加 , x1 x2 xn xn+1 单调数列 单调减少 准则Ⅱ 单调有界数列必有极限
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 几何解释 从数轴上看对应于单调数例的点n只可能向一个方向 移动,所以只有两种可能情形或者点x,沿数轴移向无穷 远(xn>+∞或xn→>-∞);或者点xn无限趋近于某一个定 点4(图1-30),也就是数例xn}趋于一个极限但现在数例 数是有界的而有界数例的点xn}都落在数轴上某一个区 间一M,M内,那么上述第一种情形京不可能发生了 这就表示数例趋于一个极限,并且这个极限的绝对 值不超过M
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 几何解释: 数是有界的而有界数例的点 都落在数轴上某一个区 点 图 也就是数例 趋于一个极限但现在数例 远 或 或者点 无限趋近于某一个定 移 动 所以只有两种可能情形 或者点 沿数轴移向无穷 从数轴上看 对应于单调数例的点 只可能向一个方向 , { } ( 1 30), { } . ( ); , : , n n n n n n n x A x x x x x x − → + → − M M M 值不超过 这就表示数例趋于一个极 限 并且这个极限的绝对 间 内 那么上述第一种情形就不可能发生了 , [− , ] ,
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics r, x M 2 n+1 图1-30 作为准则江的应用我们讨论另一个重要欐艮 im(1+-) x-oO 下面考虑取正整数而趋于+∝的情形
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics x 1 x 2 x 3 x xn xn+1 A M 图1-30 x x x ) 1 lim(1 , + → 作为准则 的应用 我们讨论另一个重要极限 下面考虑x取正整数n而趋于+ 的情形
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 设xn=(1+ =1+ n1.(n-1)1 (n-1)…(n-n+1)1 1!n2 1+1+(1--)+…+(1--)(1--)…(1 2! n 类似地, 1+1+,(1 +1 2 n-1 +,(1 n n+1 +2 n+1 2 十 n n n+2 n
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics n n n x ) 1 设 = (1 + ). 1 ) (1 2 )(1 1 (1 ! 1 ) 1 (1 2! 1 1 1 n n n n n n − = + + − ++ − − − + − = + + 2 1 2! 1 ( 1) 1! 1 n n n n n n n n n n n n 1 ! ( 1) ( 1) − − + + ). 1 ) (1 2 2 )(1 1 1 (1 ( 1)! 1 ) 1 1 ) (1 2 2 )(1 1 1 (1 ! 1 ) 1 1 (1 2! 1 1 1 1 + − + − + − + + + − − + − + + − + + + = + + − n n n n n n n n n n n xn 类似地