第7章线性空间与线性变换 本章介绍线性空间的基本概念与基本运算,介 绍线性变换的基本概念以及线性变换的矩阵。通过 本章的学习,应该掌握以下内容: 线性空间的概念、基、维数与坐标 基变换与坐标变换公式 线性变换的概念、简单性质与运算 线性变换的矩阵表示和线性变换在不同基下的矩 阵之间的关系 线性变换运算所对应的矩阵 线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件
第7章 线性空间与线性变换 本章介绍线性空间的基本概念与基本运算，介 绍线性变换的基本概念以及线性变换的矩阵。通过 本章的学习，应该掌握以下内容： 线性空间的概念、基、维数与坐标 基变换与坐标变换公式 线性变换的概念、简单性质与运算 线性变换的矩阵表示和线性变换在不同基下的矩 阵之间的关系 线性变换运算所对应的矩阵 线性变换的矩阵为对角矩阵的充要条件
7.1n维线性空间 7.1.1n维线性空间的概念 定义1设V是一个非空集合,P是一个数域在V 中定义了两种代数运算: 1.加法对于V中任意两个元素a,B按某一法则在 V中都有惟一的一个元素y与它们对应称为a,B 的和记作y=a+ 2.数量乘法对于V任意元素和数域P中的任意数 k按某一法则在中都有惟一的一个元素与它们 对应称为k与C的数量乘积,记作δ=ka 般称集合V对于加法和数量乘法这两种运算封闭
维线性空间的概念 7.1 n 维线性空间 7.1.1 n 定义1 设 V 是一个非空集合， P 是一个数域,在 中定义了两种代数运算： V 1．加法 对于 V 中任意两个元素 , 按某一法则,在 V 中都有惟一的一个元素 与它们对应,称为 , 的和,记作 = + 2．数量乘法 对于 V 任意元素 和数域 P 中的任意数 k 按某一法则,在 V 中都有惟一的一个元素 对应,称为 与它们 k 与 的数量乘积，记作 = k 一般称集合 V 对于加法和数量乘法这两种运算封闭．
如果加法和数量乘法满足以下八条运算规律,则称 J是数域P上的一个线性空间.其中: (1)a+B=B+a(2)(a+B)+y=a+(B+y) (3)在T中有一个元素0对于中任一元素a,都有 a+0=a.称元素0为的零元素 (4)对于V中每一个元素,都有中的元素使得 a+B=0.称元素B为的负元素记作=aa+(-a)=0 (5对数域P中的数1和中的任一元素c,都有1= (6)k(la)=(k)a (7)(k+1=ka+la(k,l是任意实数) (8)k(a+B)=ka+kB
如果加法和数量乘法满足以下八条运算规律，则称 V 是数域 P 上的一个线性空间．其中： (1) + = + (2)( ) ( ) + + = + + （3）在 V 中有一个元素 0 ,对于 V 中任一元素 ,都有 + =0 .称元素 为 V 的零元素 （4）对于 V 中每一个元素 ,都有 V 中的元素 使得 + = 0 .称元素 0 为 的负元素,记作 − ,即 + − = ( ) 0 (5)对数域 P 中的数1和 V 中的任一元素 ,都有 1. = (6) ( ) ( ) k l kl = (7)( ) k l k l + = + (8) ( ) k k k + = + ( , k l 是任意实数)
注:凡满足八条运算规律的加法及数量乘法,就 称为线性运算;凡定义了线性运算的集合,就称 为线性空间 线性空间具有下列性质: 性质1线性空间的零元素是惟一的; 性质2线性空间V中每个向量的负向量是惟一的; 性质30a=0,(-1)x=-a,.k0=0 性质4如果ka=0则k=0或a=0
注: 凡满足八条运算规律的加法及数量乘法，就 称为线性运算；凡定义了线性运算的集合，就称 为线性空间． 线性空间具有下列性质： 性质1 线性空间的零元素是惟一的； 性质2 线性空间 V 中每个向量的负向量是惟一的； 性质3 0 ( 1) , = − = − = 0, 0 0 k 性质4 如果 k = 0 ,则 k = 0 或 = 0
7.1.2基、维数与坐标 定义2在线性空间中,如果存在n个元素a1,a2…,an 满足:(1)ax1a2…,On线性无关; (2)中任一元素C总可以由a1,a2…an线性表示 那么,a1,a2an称为线性空间V的一组基, n称为线性空间V的维数
7.1.2基、维数与坐标 定义2 在线性空间 中,如果存在 (2)V n 个元素 1 2 , , , n 满足: 1 2 (1) , , , n 中任一元素 总可以由 1 2 线性表示, , , , n 那么, 1 2 , , , n 称为线性空间 V V 的一组基, n 称为线性空间 V 的维数 线性无关;
定义3设a1,a2,…Cn是n维线性空间V的一组基 c是中任一元素,如果a=xa1+x2C2+…+x1Cn x1,x2…,x这组有序数组就称为元素在a1,a2…n 这组基下的坐标,并记作: C=X.X ) 建立了坐标后,就把抽象的向量(元素)与具体的 数组向量(x1,x2…,xn)联系起来了并且,还可把抽 象的线性运算与数组向量的元素联系起来
定义3 设 1 2 , , , n 是 n 维线性空间 的一组基 V 是 V 中任一元素，如果 1 1 2 2 n n = + + + x x x 1 2 , , , n x x x 这组有序数组就称为元素 在 1 2 , , , n 这组基下的坐标，并记作： T 1 2 ( , , , ) n = x x x 建立了坐标后，就把抽象的向量（元素）与具体的 数组向量 联系起来了并且,还可把抽 象的线性运算与数组向量的元素联系起来． T 1 2 ( , , , ) n x x x
设 C,B∈ C.Cl a,为一组基 =XC1+x2C2+…+xn B=yax1+y2a2+…+ynan 于是 a+B=(x1+n1)a1+(x2+y2)a2+…+(xn+yn)Cn ka=ha+h,a,.+h,a
设 , Vn 1 2 , , , , n 为一组基 1 1 2 2 n n = + + + x x x 1 1 2 2 n n = + + + y y y 于是 1 1 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) n n n + = + + + + + + x y x y x y 1 1 2 2 n n k kx kx kx = + + +
7.1.3基变换与坐标变换公式 设 an与B,B2,…B是线性空间Vn中的两个基 B1=a1x1+a22+…+anC B,=a,,a+a2a,+.+an,a =a1,C1+a,nC+…+aC 利用分块矩阵的乘法形式,可将上式记为 n (BB2…,Bn)=(ax12a2…,Cn) 22 2 或(B1,B2…,B,)=(a1ax2…an)A
7.1.3基变换与坐标变换公式 设 1 2 , , , n 与 1 2 , , , n 是线性空间 Vn 中的两个基 1 11 1 21 2 1 2 12 1 22 2 2 1 1 2 2 n n n n n n n nn n a a a a a a a a a = + + + = + + + = + + + 利用分块矩阵的乘法形式，可将上式记为 11 12 1 21 22 2 1 2 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n n n n n nn a a a a a a a a a = 或 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n = A
12 ain 其中A 称为由基 a. al 到R,B2…Bn过渡矩阵 中的每一列元素分别是基AB2…B在基a12O2…an 下的坐标 B1,B2…Bn)=(a1,an2…an)A称为基变换公式
11 12 1 21 22 2 1 2 n n n n nn a a a a a a A a a a = 其中 称为由基 1 2 , , , n 1 2 , , , 到 n 过渡矩阵. A 中的每一列元素分别是基 1 2 , , , n 在基 1 2 , , , n 下的坐标； 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n = A 称为基变换公式
定理1设Vn中的元素c在基a,a2…an下的坐标为 (x1,x2,…,xn),在基A,B2…B下的坐标为 (y1,y2,…,yn),若两个基满足 (A,B2…,Bn)=(a12a2,…an)A 则有坐标变换公式 XI y y x a/2或y2 A
定理1设 Vn 中的元素 在基 1 2 , , , n 下的坐标为 T 1 2 ( , , , ) n x x x ,在基 1 2 , , , n 下的坐标为 T 1 2 ( , , , ) n y y y ,若两个基满足 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) n n = A 则有坐标变换公式 1 1 2 2 n n x y x y A x y = 或 1 1 2 2 1 n n y x y x A y x − =