线性代数 牛莉等编著 中国水利水电出版社
线 性 代 数 牛莉 等编著 中国水利水电出版社
第1章行列式 1.1全排列及其逆序数
第1章 行列式 1.1 全排列及其逆序数
1.1.1排列与逆序 ■自然数,2,…,n组成的有序数组称为一个n 元排列,记为P1P2…P,n元排列共有n 个.排列12…n称为自然排列或标准排列, 规定其为标准次序 n定义1在一个n元排列PP2Pn中,若一个 大的数排在一个小的数的前面(即与标准次 序不同时),则称这两个数有一个逆序 个n元排列中所有逆序的总数,称为此排列 的逆序数,记为(PP2…p2) ■若排列的逆序数为奇数(偶数),则称此排 列为奇排列(偶排列)
1.1.1 排列与逆序 自然数 组成的有序数组称为一个 元排列，记为 ． 元排列共有 个．排列 称为自然排列或标准排列， 规定其为标准次序． 定义1 在一个 元排列 中，若一个 大的数排在一个小的数的前面（即与标准次 序不同时），则称这两个数有一个逆序．一 个 元排列中所有逆序的总数，称为此排列 的逆序数，记为 ． 若排列的逆序数为奇数（偶数），则称此排 列为奇排列（偶排列）． 1 2，， ，n 1 2 n p p p 12 n n n n！ 1 2 ( ) n p p p ． n 1 2 n p p p n
■计算排列逆序数的方法: 设PP2¨Pn为1个自然数1,2,…,一个排 列,考虑元素P(=-2…ym)如果比大且排 在前匦的数有个,就说这个元素的逆序 数是,全体元素的逆序数的总和就是此排列 的逆序数,即 z(P1P2…p)=1+12+…+tn=∑
计算排列逆序数的方法： 设 为 个自然数 的一个排 列，考虑元素 ，如果比 大且排 在 前面的数有 个，就说这个元素的逆序 数是，全体元素的逆序数的总和就是此排列 的逆序数，即 1 2 n p p p n 1, 2, , n ( 1, 2, , ) i p i n = i p i t 1 2 ( ) n p p p 1 2 1 n n i i t t t t = = + + + = ． i p
例1求下列排列的逆序数: (1)436251;(2)n(m-1)…21 解z(436251=0+1+0+3+1+5=10 此排列为偶排列 (2)同理可得 z[m(n-1)…21]=0+1+2+…+(n-2)+(n-1)n(n-1) 2 此排列的奇偶性由n确定
例1 求下列排列的逆序数： （1） ； （2） ． 解 此排列为偶排列． （2）同理可得 此排列的奇偶性由 确定． 436251 n n( 1) 21 − （436251）= 0+ 1+ 0+ 3+ 1+ 5= 10 ( 1) [ ( 1) 21] 0 1 2 ( 2) ( 1) 2 n n n n n n − − = + + + + − + − = n
1.12对换 ■定义2将一个排列中的某两个数的位置互换 (其余的数不动),就得到了一个新排列, 称这样的变换为一次对换,将相邻两个数对 换,称为相邻对换 定理1对排列进行一次对换,则改变其奇偶 性 ■由定理1可得下面的推论 ■推论1奇排列调成自然(标准)排列的对换 次数为奇数,偶排列调成自然(标准)排列 的对换次数为偶数
1.1.2 对换 定义2 将一个排列中的某两个数的位置互换 （其余的数不动），就得到了一个新排列， 称这样的变换为一次对换，将相邻两个数对 换，称为相邻对换． 定理1 对排列进行一次对换，则改变其奇偶 性． 由定理1可得下面的推论． 推论1 奇排列调成自然（标准）排列的对换 次数为奇数，偶排列调成自然（标准）排列 的对换次数为偶数．
■推论2全体阮排列(n>1)的集合中,奇、 偶排列各占一半
推论2 全体 元排列（ ）的集合中，奇、 偶排列各占一半． n n 1
1.2行列式的概念
1.2 行列式的概念
1.2.1二、三阶行列式 、二阶行列式 求解二元一次方程组 1x1+a12x2=b, (121) a x, tax=b, 引入符号 D 12 1022 12021 22 称D为二阶行列式((12.1)的系数行列式),它代 表一个数,简记为D=de(an),其中数an(=12=1,2) 称为行列式D的第i(行标)行、第/(列标)列的元 素
1.2.1 二、三阶行列式 一、二阶行列式 求解二元一次方程组 (1.2.1) 引入符号 称 为二阶行列式（（1.2.1）的系数行列式），它代 表一个数，简记为 ，其中数 称为行列式 的第 （行标）行、第 （列标）列的元 素． 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 a x a x b a x a x b + = + = ， ， 11 12 11 22 12 21 21 22 a a D a a a a a a = = − D det( ) D a = ij ij a ( 1, 2; 1, 2) i j = = i D j
当a1a2-a12a1≠0时,求得方程组(121)的解 为 b 2 b 11022 12021 1022 12021 根据二阶行列式的定义,方程组(121)的解中 的分子也可用二阶行列式表示.若记 2|=ba2-a2b2,D2 6-6 22 其中D(j=1,2)表示将D中第j列换成(121)式 右边的常数项所得到的行列式
当 时，求得方程组(1.2.1)的解 为 ， 根据二阶行列式的定义，方程组(1.2.1)的解中 的分子也可用二阶行列式表示．若记 其中 表示将 中第 列换成(1.2.1)式 右边的常数项所得到的行列式． 11 22 12 21 a a a a − 0 1 22 12 2 1 11 22 12 21 b a a b x a a a a − = − 11 2 1 21 2 11 22 12 21 a b b a x a a a a − = − 1 12 1 1 22 12 2 2 22 , b a D b a a b b a = = − 11 1 2 11 2 1 21 21 2 a b D a b b a a b = = − ， ( 1, 2) D j j = D j 其中