不定积分的概念和性质

不定积分的概念和性质 前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学 技术领域中,还会遇到与此相反的问题:即寻求 个可导函数,使其导数等于一个已知函数。从而产 生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积 分两部分。 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 然后介绍其性质,最后着重系统地介绍积分方法

不定积分的概念和性质 前面我们已经研究了一元函数微分学。但在科学 技术领域中，还会遇到与此相反的问题：即寻求一 个可导函数，使其导数等于一个已知函数。从而产 生了一元函数积分学。积分学分为不定积分和定积 分两部分。 本章我们先从导数的逆运算引出不定积分的概念 然后介绍其性质，最后着重系统地介绍积分方法

重点 原函数与不定积分的概念 基本积分公式 换元积分法分部积分法 有理函数积分 难点 换元积分分部积分有理函数积分

重点 原函数与不定积分的概念 基本积分公式 换元积分法 分部积分法 有理函数积分 难点 换元积分 分部积分 有理函数积分

基冲要求 ①正确理解原函数和不定积分概念 熟记基本积分公式 ③熟练地运用换元积分法和分部积分法 ④会用待定系数法求有理函数积分 ⑤会用万能代换和三角代换求三角有理式积分 ⑥会求简单无理函数的积分

基本要求 ①正确理解原函数和不定积分概念 ②熟记基本积分公式 ③熟练地运用换元积分法和分部积分法 ④会用待定系数法求有理函数积分 ⑤会用万能代换和三角代换求三角有理式积分 ⑥会求简单无理函数的积分

、原函数与不定积分的概念 定义:如果在区间内,可导函数F(x)的 导函数为∫(x),即vx∈I,都有F(x)=f(x) 或dF(x)=f(x)dx,那么函数F(x)就称为f(x) 或∫(x)d在区间内原函数 例(sinx)= cosr sin x是cosx的原函数 (nx)=(x>0) lnx是在区间(0,+)内的原函数

例 (sin x) = cos x  sin x是cos x的原函数. ( ) ( 0) 1 ln =   x x x ln x是 x 1 在区间(0,+)内的原函数. 定义： 如果在区间I 内，可导函数F(x)的 即x  I，都有F(x) = f (x) 或dF(x) = f (x)dx，那么函数F(x)就称为f (x) 导函数为 f (x)， 或 f (x)dx在区间I 内原函数. 一、原函数与不定积分的概念

关于原函数的说明 对原函数的研究须讨论解决以下两个问题 (1)是否任何一个函数都存在原函数? 考察如下的例子 0x≠0 ∫(x) 1x=0 若存在可导函数F(x)使F(x)=f(x) 则由∫(x)的定义 当x0时F"(x)=f(x)=0→F(x)=C2 由F(x)可导→F(x)在x=0处连续

对原函数的研究须讨论解决以下两个问题 (1) 是否任何一个函数都存在原函数？ 考察如下的例子    =  = 1 0 0 0 ( ) x x f x 若存在可导函数 F(x)使F(x) = f (x) 则由 f (x) 的定义 当x  0时 F(x) = f (x) = 0 1  F(x) = C 当x  0时 F(x) = f (x) = 0 2  F(x) = C 由F(x)可导 F(x)在x = 0处连续 关于原函数的说明：

→C1=C2(左、右极限存在且相等) →F(x)=C→F"(0)=0 而已知F(0)=f(0)=1矛盾 这说明∫(x)没有原函数 既然不是每一个函数都有原函数,那么我们自然 要问:具备什么条件的函数才有原函数?对此我们 给出如下的结论: 原函数存在定理: 如果函数∫(x)在区间内连续, 那么在区间Ⅰ内存在可导函数F(x), 使x∈I,都有F(x)=f(x)

 C1 = C2 （左、右极限存在且相等）  F(x) = C  F(0) = 0 而已知 F(0) = f (0) = 1 矛盾 这说明 f (x) 没有原函数 既然不是每一个函数都有原函数，那么我们自然 要问：具备什么条件的函数才有原函数？对此我们 给出如下的结论： 原函数存在定理： 如果函数 f (x)在区间I 内连续， 那么在区间I 内存在可导函数F(x)， 使x  I，都有F(x) = f (x)

简言之:连续函数一定有原函数 (证明待下章给出) (2)原函数是否唯一?若不唯一,它们之间有 什么联系? ①若F(x)=f(x),则对于任意常数C, F(x)+C都是f(x)的原函数 ②若F(x)和G(x都是f(x)的原函数, 则F(x)-G(x)=C(C为任意常数) iIE. [F(x)G(x)]=F(x)-G'(x) f(x)-f(x)=0 F(x)-G(x)=C(O为任意常数)

简言之：连续函数一定有原函数. （证明待下章给出） （2）原函数是否唯一？若不唯一，它们之间有 什么联系？ ①若 F(x) = f (x) ，则对于任意常数 C ， F(x) + C都是 f (x)的原函数. ②若 F(x) 和 G(x) 都是 f (x) 的原函数， 则 F(x) −G(x) = C （ C 为任意常数） 证 F(x) G(x) = F(x) − G(x)   − = f (x) − f (x) = 0  F(x) −G(x) = C （ C为任意常数）

不定积分的定义: 在区间I内,函数∫(x)的带有任意 常数项的原函数称为∫(x)在区间/内的 不定积分,记为∫f(x)k ∫(x)kx=F(x)+C 积被被 分积积积 号函表分 数达变 任意常数 式 量 为求不定积分,只须求出被积函数的一个原函数 再加上积分常数即可

任 意 常 数 积 分 号 被 积 函 数 不定积分的定义： 在区间I 内，  f (x)dx = F(x) + C 被 积 表 达 式 积 分 变 量 函数 f (x)的带有任意 常数项的原函数 称为 f (x)在区间I 内的 不定积分，记为 f (x)dx. 为求不定积分，只须求出被积函数的一个原函数 再加上积分常数即可

例1求∫x3 解 / x x dx +C, 6 6 例2求∫ 2 1+x 解( arctan)= 1+x 1+x 2dx=arctan+c

例1 求 . 5  x dx 解 , 6 5 6 x x =         . 6 6 5 C x  x dx = +  解 例2 求 . 1 1 2  + dx x ( ) , 1 1 arctan 2 x x + =   arctan . 1 1  2 = + +  dx x C x

例3设曲线通过点(1,2),且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍,求此曲线方程 解设曲线方程为y=∫(x), 根据题意知=2x, d x 即∫(x)是2x的一个原函数 2xdx=x+C.. f(x)=x+c, 由曲线通过点(1,2)→C=1, 所求曲线方程为y=x2+1

例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 y = f (x), 根据题意知 2x, dx dy = 即 f (x)是2x的一个原函数. 2 , 2   xdx = x + C ( ) , 2  f x = x + C 由曲线通过点（1，2）  C = 1, 所求曲线方程为 1. 2 y = x +