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Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节 无穷小与无穷大 一、 无穷小 二、 无穷大 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 无穷小 定义1如果函数(x)当x→x(或x→∞时的极限为零,那么称 函数f(x)为当x→x(或x→∞)时的无穷小 例1:lim(x-2)=0,则称函数x-2当x→2时为无穷小 x→2 im=0,∴函数是当x→o时的无穷小 x→ 注1)无穷小量是一个变量,而不是一个数但0可以作为无 穷小的唯一一个常数 此概念对数列极限也适用.若 lim x=0,称数列xn n→0 为n→>0时的无穷小
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义1 函 数 为 当 或 时的无穷小 如果函数 当 或 时的极限为零，那么称 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 → → → → f x x x x f x x x x 一、 无穷小 0, 1 lim = x→ x . 1 函数 是当x → 时的无穷小 x 注 1) 无穷小量是一个变量, 而不是一个数.但0可以作为无 穷小的唯一一个常数. 2) 此概念对数列极限也适用. 若 ,称数列 为 时的无穷小. lim = 0 → n n x n x n → lim( 2) 0, 2 2 . 2 − = 则称函数 − 当 → 时为无穷小 → x x x x 例1
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 3)E-6(E-X)语言表述 vE>0,36>0(0rX>0),当0X) 时,有f(x)x-0,x→+0x→ 时无穷小 无穷小与函数极限的关系 定理1在自变量的同一变化速x→x0(或x→)中,函数 f(x)具有极限4的充分必要条件是(x)=A+a, 其中a是无穷小
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics lim ( ) 0 ( ) 0 = → → f x x x x 3) 语言表述 当 时 ,有 则 − ( − X) 0, 0(or X 0), f (x) 0 ( ) x − x0 x X 4) 不能说函数 是无穷小, 应该说在什么情况下的无穷 小. 即指出自变量的变化过程. f ( x) 5) 同样有 x → x0 + 0, x → x0 − 0, x → + , x → − 时无穷小. 无穷小与函数极限的关系 定理1 其 中 是无穷小 具有极限 的充分必要条件是 在自变量的同一变化过程 或 中，函数 ( ) ( ) , ( ) 0 = + → → f x A f x A x x x
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 证明设imf(x)=A,则vE>0,38>0 x→x0 使当0x/时的无穷小,且 ∫(x)=A+a 即证明了f(x)等于它的极限与一个无穷小之和 充分性 设f(x)=A+a,其中4是常数,a是x→>x/时 的无穷小,于是
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证明 使 当 时，有 设 则 − = → 0 0 0 lim ( ) , 0, 0 x x f x A x x f (x) − A 令＝f (x)− A,则是x → x0 时的无穷小，且 f (x) = A+ 即证明了f (x)等于它的极限A与一个无穷小之和 充分性 的无穷小，于是 设f (x) = A+,其 中A是常数，是x → x0 时
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics f(x)-A=a 因a是x→x0时的无穷小,所以E>0,3δ>0, 使当0<x <c时,有a<E 即 f(x)-4<6 即证明了A是f(x)当x→x时的极限 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics f (x) − A = − → 使 当 时，有 因 是 时的无穷小，所以 0 0 0 0, 0, x x x x 即 f (x) − A 即证明了A是f (x)当x → x0时的极限 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大 定义2设函数f(x)在x某一去心邻域内有定义(或x大于 某一正数时有定义).如果对于任意给定的正数M(不论它多 么大),总存在正数δ(或正数X),使得对于适合不等式 0X)的一切x,对应的函数值∫(x) 总满足不等式f(x)>M, 则称函数∫(x)当x→x0(或x→>0)时为无穷大,记作 imf(x)=∞(或imf(x)=∞) x→x0 x→0
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、无穷大 绝对值无限增大的变量称为无穷大. 定义 2 设函数 f ( x)在x0某一去心邻域内有定义（或 x 大于 某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M (不论它多 么 大),总存在正数 (或正数 X ),使得对于适合不等式 − 0 x x0 (或 x X )的一切 x ,对应的函数值 f ( x) 总满足不等式 f ( x) M , 则称函数 f (x) 当 x → x0 (或 x → )时为无穷大,记 作 lim ( ) ( lim ( ) ). 0 = = → → f x f x x x x 或
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 注意: (1)无穷大是变量,不能与很大的数混淆; (2)切勿将lim∫(x)=∞认为极限存在 (3)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是 无穷大
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 注意： （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 2 lim ( ) . 0 （ ）切勿将 = 认为极限存在 → f x x x （3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是 无穷大
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2证明lm 图1-28) 证M>0.要使 75-5-2.5N2.557.510 只要x-1M lim x→1x-1
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics .( 1 28) 1 1 2 lim 1 = − → − 例 证明 图 x x 证 M 0. , 1 1 M x − 要使 , 1 1 M 只要 x − , 1 M 取 = , 1 当0 1 时 M x − = . 1 1 M x − 就有 . 1 1 lim 1 = − x→ x 图1－28
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义:如果imf(x)=∞则直线x=x是函数y=f(x) 的图形的铅直渐近线 无穷小与无穷大的关系 定理2在自变量的同一变化过程中,如果(x)为无穷大,则 f(x)为无穷小;反之,如果(x)为无穷小,且f(x)≠0 为无穷大 ∫(x 证设imf(x)=∞ x→x E>0,令M=,36>0,使得￥0M=
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics . : lim ( ) , ( ) 0 0 的图形的铅直渐近线 定义 如果 f x 则直线x x 是函数y f x x x = = = → 无穷小与无穷大的关系 证 lim ( ) . 0 = → f x x x 设 , 1 ( ) , 0, 0 1 0, 0 = = − f x M M x x 恒 有 令 使得当 时 定理2 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则 ( ) 1 f x f ( x) 0 则 为无穷大 ( ) 1 f x 为无穷小；反之，如果f (x)为无穷小，且
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 0,根据无穷小的定义,府,36>0,使得 当0</-4/<),恒有fx<s M 由于∫(x)≠0, 从而 M ∫(x 当x→x时,1 为无穷大 ∫( 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics . ( ) 1 f x 即 . ( ) 1 , 当 0时 为无穷小 f x x → x , lim ( ) 0, ( ) 0. 0 = → f x f x x x 反之 设 且 , 1 0 ( ) 0, 1 0, 0 M x x f x M M − = 当 时，恒有 根据无穷小的定义，对于 ＝ ， 使 得 . ( ) 1 M f x 从而 由于 f (x) 0, . ( ) 1 , 当 0时 为无穷大 f x x → x 返回