⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节函数的单调性与曲线的凹凸性 、函数单调性的判定法 曲线的凹凸性与拐点 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定法 二、曲线的凹凸性与拐点 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 函数单调性的判定法 B y=f(r y=f(r) B 0 a b x 0a x f(x)≥0 f(x)≤0 定理1设函数y=f(x)在[a,b上连续,在(,b内可 导 (1)如果在(a,b内f(x)>0,那末函数y=f(x) 在{a,b上单调增加; (2)如果在(a,b)内f(x)<0,那末函数y=f(x) 在{a,b上单调减少 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics x y o y = f (x) x y o y = f (x) a b A B f (x) 0 f (x) 0 定理1 [ , ] . (2) ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) . ( ) [ , ] ( , ) 在 上单调减少 如果在 内 ，那末函数 在 上单调增加； （ ）如果在 内 ，那末函数 导 设函数 在 上连续，在 内 可 a b a b f x y f x a b a b f x y f x y f x a b a b = = = a b B A 2004-4-10 一、函数单调性的判定法
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 证yx1,x2∈(ab,且x10 若在(an,b内,∫(x)>0,则f(2)>0, ∴∫(x2)>∫(x1) y=f(x)在a,b上单调增加 若在(a,呐内,f(x)<0,则∫()<0 f∫(x2)<∫(x1) y=f(x)在a,b上单调减少 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 证 , ( , ), x1 x2 a b , 且 x1 x2 应用拉氏定理,得 ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 1 x2 x1 x1 x2 f x − f x = f − 0, x2 − x1 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调增加. 若在(a,b)内，f (x) 0, 则 f ( ) 0, ( ) ( ). 2 x1 f x f y = f (x)在[a,b]上单调减少. 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1判定函数=x-sinx在[0,2m的单调性 解:因为在,2内 y=1-cosx>0 所以由定理可知, 函数y=x-sinx在0,2上单调增加 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1 判定函数y = x −sin x在[0，2]的单调性 解： 因为在（0，2 )内 y'= 1− cos x 0 所以由定理1可知， 函数y = x −sin x在[0，2]上单调增加 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2讨论函数y=e2-x-1的单调性 解…y=e2-1.又∵D:(-0,+0) 在(-∞,0内,y0, 函数单调增加 注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用导数在 这一区间上的符号来判定,而不能用一点处的导数符号 来判别一个区间上的单调性 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 解 讨论函数y = e − x − 1的单调性. x = − 1. x y e 在(−,0)内, y 0, 函数单调减少； 在(0,+)内, y 0, 函数单调增加. 注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在 这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号 来判别一个区间上的单调性． 又D :(−,+). 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 问题:如上例,函数在定义区间上不是单调的,但在各 个部分区间上单调 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该 区间称为函数的单调区间 导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间的分界 点 方法:用方程∫(x)=0的根及∫(x)不存在的点 来划分函数f(x)的定义区间然后判断区间内导 数的符号 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各 个部分区间上单调． 定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该 区间称为函数的单调区间. 导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界 点． 方法: . ( ) , ( ) 0 ( ) 数的符号 来划分函数 的定义区间 然后判断区间内导 用方程 的根及 不存在的点 f x f x = f x 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3确定函数∫(x)=3x2的单调区间 解∵D:(-∞,+∞). 2 ∫(x)=n3-,(x≠0 33 y=vx 当x=0时,导数不存在 当-∞0,:在0,+∞)上单调增加 单调区间为(-∞,0,10,+∞) 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3 解 ( ) . 确定函数 f x = 3 x 2 的单调区间 D :(−,+)., ( 0) 3 2 ( ) 3 = x x f x 当x = 0时,导数不存在. 当− x 0时， 当0 x +时，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (x) 0, 在(−,0]上单调减少； 单调区间为 (−,0]， [0,+). 3 2 y = x 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4确定函数f(x)=2x3-9x2 +12x-3的单调区间 解∵D:(-∞,+∞) f(x)=6 2 18x+12 6(x-1)(x-2) 0.5 1.522.53 解方程f(x)=0得,x1=1,x2=2 当-∞0,在(-∞,1单调增加; 当10,∴在2,+o)上单调增加; 单调区间为(-∞,,[1,2,[2,+∞) 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4 解 12 3 . ( ) 2 9 3 2 的单调区间 确定函数 + − = − x f x x x D :(−,+). ( ) 6 18 12 2 f x = x − x + = 6(x − 1)(x − 2) 解方程f (x) = 0 得， 1, 2. x1 = x2 = 当− x 1时，f (x) 0, 在(−,1]上单调增加； 当1 x 2时， f (x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x +时，f (x) 0, 在[2,+)上单调增加； 单调区间为 (−,1]，[1,2]，[2,+). 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性 例如,y=x3,yx=0=0,但在(∞,+∞)上单调增加 例5当x>0时,试证x>lm(1+x)成立 证设f(x)=x-hn(1+x),则∫(x) 1+x f(x)在0,+∞)上连续,且(0,+∞)可导,f(x)>0, 在0,+∞)上单调增加; f(0)=0, 当x>0时,x-I(1+x)>0, 即x>l(1+x) 2004-4-10
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例5 证 当x 0时,试证x ln(1 + x)成立. 设f (x) = x − ln(1 + x), . 1 ( ) x x f x + 则 = f (x)在[0,+)上连续,且(0,+)可导，f (x) 0, 在[0,+)上单调增加； f (0) = 0, 当x 0时，x − ln(1 + x) 0, 即 x ln(1+ x). 注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性. 例如, , 3 y = x 0, y x=0 = 但在(−,+)上单调增加. 2004-4-10
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例6证明:当x1时,2x>3 证令∫(x)=2√x-(3--),则 f∫'(x)= 2=-2(x√x-1 √xx2 f(x)在,+∞)上连续,在Q,+∞)内f'(x)>0 当x>1,有f(x)>∫(1) 由于f(1)=0,故f(x)>∫(1)=0 即2vx-3、1 )>0 也即2√x>(3-- 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例6 证明：当x>1时， x x 1 2 3 − 证 令 ), 则 1 ( ) 2 (3 x f x = x − − ( 1) 1 1 1 ( ) 2 2 = − = x x − x x x f x ) 1 2 (3 ) 0 1 2 (3 (1) 0, ( ) (1) 0 1 ( ) (1) ( ) [1 1 ( ) 0 x x x x f f x f x f x f f x f x − − − = = 也 即 即 由 于 故 当 ， 有 在 ， ＋ ）上连续，在（， ＋ ） 内返回
