⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第五节隐函数的求导公式 个方程的情形 二、方程组的情形 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第五节 隐函数的求导公式 一、 一个方程的情形 二、方程组的情形
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、一个方程的情形 1.F(x,y)=0 隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点的P(x,y)某 邻域内具有连续的偏导数,且F(x0,y0)=0 Fn(x0,y)≠0,则方程F(x,y)=0在点P(x0,y0)的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数 的函数y=f(x),它满足条件y0=f(x0),并有 dx F 隐函数的求导公式 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 1. F(x, y) = 0 一、一个方程的情形 隐函数的求导公式 隐函数存在定理1 设函数F ( x , y ) 在点的P (x0 , y0 )某一 邻域内具有连续的偏导数，且 ( , ) 0 0 0 F x y = Fy ( x0 , y 0 ) 0 ，则方程F ( x , y ) = 0在点 ) , ( 0 0 P x y 的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数 的函数 y = f ( x ) ，它满足条件 ( ) 0 0 y = f x ，并有 y x F F dx dy = -
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1验证方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1的隐函数 y=f(x),并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值 解令F(x,y)=x+y-1则F=2x,F=2J, F(0,1)=0,F,(0,1)=2≠0, 依定理知方程x2+y2-1=0在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x=0时y=1的函数 y=∫(x) tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 令 ( , ) 1 2 2 F x y = x + y - 则 F 2x, x = F 2 y, y = F(0,1) = 0, (0,1) = 2 0, Fy 例１验证方程 1 0 2 2 x + y - = 在点(0 ,1) 的某邻域内能 唯一确定一个单值可导、且x = 0 时y = 1 的隐函数 y = f ( x )，并求这函数的一阶和二阶导数在x = 0的值. 依定理知方程 1 0 2 2 x + y - = 在点(0 ,1) 的某邻域 内能唯一确定一个单值可导、且x = 0 时 y = 1的函数 y = f ( x )
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 函数的一阶和二阶导数为 Fr x d x y-x dy y-xy 2 =-1. d x' tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics y x F F dx dy = - , y x = - 0, 0 = dx x= dy 2 2 2 y y xy dx d y - = - 2 y y x y x - - = - , 1 3 y = - 1. 0 2 2 = - x= dx d y 函数的一阶和二阶导数为
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 2.F(x,y,z)=0 隐函数存在定理2设函数F(x,y,x)在点P(x0yn,z0) 的某一邻域内有连续的偏导数,且F(x0y0,0)=0 F2(x0,y0,z0)≠0,则方程F(x,y,z)=0在点 P(xa,yn,zan)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值 连续且具有连续偏导数的函数z=f(x,y) 它满足条件z0=f(x0,y0) 并有 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 2. F(x, y,z) = 0 隐函数存在定理2 设函数F ( x, y,z) 在点 ( , 0 P x , ) 0 0 y z 的某一邻域内有连续的偏导数，且 ( , 0 F x , ) 0 0 0 y z = ， ( , , ) 0 0 0 0 F x y z z ，则方程F ( x, y , z) = 0在点 ( , , ) 0 0 0 P x y z 的某一邻域内恒能唯一确定一个单值 连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x , y )， 它满足条件 ( , ) 0 0 0 z = f x y 并有 z x F F x z = - ， z y F F y z = -
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2设x2+ 4z=0,求 解令F(x,y,z)=x2+y2+x-4x, 则F=2x,F2=2z z ax F 2-z az (2-z)+x(2-x)+x ax ax (2-z) (2 3 (2-z)2+ tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 令 则 ( , , ) 4 , 2 2 2 F x y z = x + y + z - z F 2x, x = F = 2z - 4, z , 2 z x F F x z z x - = - = 2 2 x z 2 (2 ) (2 ) z x z z x - - + = 2 (2 ) 2 (2 ) z z x z x - - - + = . (2 ) (2 ) 3 2 2 z z x - - + = 例2 设 4 0 2 2 2 x + y + z - z = ，求 2 2 x z
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、方程组的情形{F(x“")=0 lG(, y,u, v)=0 隐函数存在定理3设F(x,y,,ν)、G(x,y,,V)在 点P(x0,yo,0,v0)的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数,且F(x0,y0,a0,"0)=0,G(x0,y0,u0,v) =0,且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可比 式) aF OF J=F,G ou av aGaG au av tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics = = ( , , , ) 0 ( , , , ) 0 G x y u v F x y u v 二、方程组的情形 隐函数存在定理3 设F ( x , y , u, v )、G ( x , y , u, v )在 点 ( , , , ) 0 0 0 0 P x y u v 的某一邻域内有对各个变量的连续 偏导数，且 ( , , , ) 0 0 0 0 0 F x y u v = , ( , , , ) 0 0 0 0 G x y u v = 0，且偏导数所组成的函数行列式 （或称雅可比 式） v G u G v F u F u v F G J = = ( , ) ( , )
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 在点P(x0,y0,40,"0)不等于零,则方程组 F(x,y,L,ν)=0、G(x,y,L,v)=0 在点P(x0,yn,H0,V)的某一邻域内恒能唯一确定 组单值连续且具有连续偏导数的函数=u(x,y), =ν(x,y),它们满足条件0=u(x,y0),v0=p (x0,y0),并有 ou 1(F, G)G.G axJa(x,)F。F tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics , ( , ) 1 ( , ) u v u v x v x v G G F F G G F F x v F G x J u = - = - 在点 ( , , , ) 0 0 0 0 P x y u v 不等于零，则方程组 F ( x , y , u , v ) = 0、G ( x , y , u , v ) = 0 在点 ( , , , ) 0 0 0 0 P x y u v 的某一邻域内恒能唯一确定一 组单值连续且具有连续偏导数的函数 u = u( x , y )， v = v ( x , y )，它们满足条件 ( , ) 0 0 0 u = u x y , v = v 0 ( , ) 0 0 x y ，并有
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o Or 1a(F, G) Fu F/Fu F ax J a(u, x) Gu GGu Gr Ou 1a(F,G) Fy FI/F FY a(, v) G. G/G. G J 1a(F,G FF/FF J a(. y) Gu G,lGu G tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics u v u v u x u x G G F F G G F F u x F G x J v = - = - ( , ) 1 ( , ) , ( , ) 1 ( , ) u v u v y v y v G G F F G G F F y v F G y J u = - = - . ( , ) 1 ( , ) u v u v u y u y G G F F G G F F u y F G y J v = - = -
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例3设x-y=0,w+xv=1, Ou au av av 求 和 y y 解1直接代入公式; 解2运用公式推导的方法, 将所给方程的两边对x求导并移项 vxyx L axˇa =x+y, y+x=→ν ax a tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解1 直接代入公式； 解2 运用公式推导的方法， 将所给方程的两边对 x 求导并移项 , = - + = - - v x v x x u y u x v y x u x y x x y J - = , 2 2 = x + y 例3 设 xu - yv = 0， yu + xv = 1， 求 x u ， y u ， x v 和 y v
