⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节定积分在物理学上的应用 变力沿直线所做的功 、水压力 引力 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第三节 定积分在物理学上的应用 一、变力沿直线所做的功 二、水压力 三、引力 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 变力沿直线所作的功 由物理学知道,如果物体在作直线运动的过程中有 个不变的力F作用在这物体上,且这力的方向与物体 的运动方向一致,那么,在物体移动了距离s时,力 F对物体所作的功为=F·s 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的,就不能直 接使用此公式,而采用“微元法”思想
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一 个不变的力F 作用在这物体上，且这力的方向与物体 的运动方向一致，那么，在物体移动了距离 s时，力 F 对物体所作的功为W = F s. 如果物体在运动的过程中所受的力是变化的，就不能直 接使用此公式，而采用“微元法”思想. 一、变力沿直线所作的功
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1把一个带+q电量的点电荷放在r轴上坐标原点 处,它产生一个电场.这个电场对周围的电荷有作用 力.由物理学知道,如果一个单位正电荷放在这个电场 中距离原点为r的地方,那么电场对它的作用力的大小 为F=k(k是常数),当这个单位正电荷在电场中 从r=Ⅱ处沿r轴移动到r=b处时,计算电场力F对 它所作的功
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 1 把一个带+ q 电量的点电荷放在 r 轴上坐标原点 处，它产生一个电场．这个电场对周围的电荷有作用 力．由物理学知道，如果一个单位正电荷放在这个电场 中距离原点为r 的地方，那么电场对它的作用力的大小 为 2 r q F = k （k是常数），当这个单位正电荷在电场中 从 r = a 处沿r 轴移动到 r = b 处时，计算电场力F 对 它所作的功．
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 解取r为积分变量, +1 r+dr ∈ ke 取任一小区间r,r+M,功元素d=mr, 所求功为=m=q kq a b 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 ke q
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 取r 为积分变量， o r • + q a b • •• • • • • + 1 r r [a,b], r + dr 取任一小区间[r,r + dr], 功元素 , 2 dr r kq dw = 所求功为 dr r kq w b a = 2 b a r kq = − 1 . 1 1 = − a b kq 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 dr r kq w a + = 2 + = − a r kq 1 . a kq =
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2一圆柱形储水桶为5米,底半径为3米,池内盛满了水 问要把池内的水全部吸出,需作多少功? 解建立坐标系如图 取x为积分变量, X+ dx x∈|0,5 取任一小区间[x,x+x], 这一薄层水的重力为98元.32dx
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 建立坐标系如图 x o x 取 x为积分变量， x + dx x[0,5] 5 取任一小区间[x, x + dx], 例2 一圆柱形储水桶为5米，底半径为3米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部吸出，需作多少功？ 这一薄层水的重力为 dx 2 9.8 3
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 功元素为dwp=88.2兀.x.bkx, w=88.2π·x·dx 2 88.2π x2 ≈3462(千焦)
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 功元素为 dw = 88.2 x dx, w = x dx 88.2 5 0 5 0 2 2 88.2 = x 3462 (千焦)．
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例3用铁锤把钉子钉入木板,设木板对铁钉的阻力与铁 钉进入木板的深度成正比,铁锤在第一次锤击时将铁钉 击入1厘米,若每次锤击所作的功相等,问第n次锤击 时又将铁钉击入多少? 解设木板对铁钉的阻力为f(x)=kx, 第一次锤击时所作的功为n1=f(x)1 设n次击入的总深度为h厘米 h n次锤击所作的总功为w=f(x)x
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 解 设木板对铁钉的阻力为 f (x) = kx, 第一次锤击时所作的功为 = 1 0 1 w f (x)dx , 2 k = ( ) . 0 = h wh f x dx 例3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁 钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉 击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 次锤击 时又将铁钉击入多少？ n 设 n 次击入的总深度为 h 厘米 n 次锤击所作的总功为
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics kh krdx 2 依题意知,每次锤击所作的功相等 k Wh=1→-=n n次击入的总深度为=√m, 第I击入的深度为n√n-1 「返回 Tianjin Polytechnic Moiwendity w
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics = h h w kxdx 0 , 2 2 kh = 依题意知，每次锤击所作的功相等． wh = nw1 2 2 kh , 2 k = n h = n, n − n − 1. n 次击入的总深度为 第 n 次击入的深度为 返回
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、水压力 由物理学知道,在水深为h处的压强为p=mt,这 里y是水的比重.如果有一面积为A的平板水平地放 置在水深为h处,那么,平板一侧所受的水压力为 -P 如果平板垂直放置在水中,由于水深不同的点处压强 p不相等,平板一侧所受的水压力就不能直接使用此 公式,而采用“微元法”思想
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 由物理学知道，在水深为 h处的压强为 p = h， 这 里 是水的比重．如果有一面积为 A的平板水平地放 置在水深为 h处，那么，平板一侧所受的水压力为 P = p A． 如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强 p不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此 公式，而采用“微元法”思想． 二、水压力
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,设 桶的底半径为R,水的比重为y,计算桶的一端面上所 受的压力 解在端面建立坐标系如图 取x为积分变量,x∈[0,R 取任一小区间[x,x+dx 小矩形片上各处的压强近似 相等p=y, 小矩形片的面积为2R2-x2dk
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设 桶的底半径为R，水的比重为 ，计算桶的一端面上所 受的压力． 解 在端面建立坐标系如图 x o 取 x为积分变量，x[0,R] 取任一小区间[x, x + dx] x x + dx 小矩形片上各处的压强近似 相等小矩形片的面积为 2 . 2 2 R − x dx p = x
