⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节常数项级数的审敛法 正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第二节 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 、正项级数审敛法 正项级数概念 各项都是正数或零的级数称为正项级数。 定理1正项级数收敛的充分必要条件是:它的部分和数列 有界。 定理2(比较审敛法)设∑和∑"都是正项级数,且 nvn(n=1,2,…若级数∑v收敛,则级数 ∑u收敛;若级数∑u发散,则级数∑"也发散 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、正项级数审敛法 定理1 正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列 有界。 （比较审敛法） 设 和 都是正项级数，且 若级数 收敛，则级数 收敛；若级数 发散，则级数 也发散。 定理2 n=1 un n=1 n v n=1 un n=1 n v n=1 un n=1 n v 正项级数概念 各项都是正数或零的级数称为正项级数。 n n u v (n = 1,2, )
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例1讨论P一级数 1+++…++…的收敛性,其中常数p>0 2p3 结论P-级数当p>1时收敛,当P≤1时发散 定理3(比较审敛法的极限形式)设∑u和∑v都是正项级数, 儿L (1)如果im=1(0≤10或lmn“=+且级数∑ n-01 发散,则级数∑n发散。 =1 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics p 1 例1 讨论 p − 级数 + p + p ++ p + n 1 3 1 2 1 1 的收敛性，其中常数p0 结论 p − 级数当 时收敛，当 p 1 时发散。 定理3（比较审敛法的极限形式）设 和 都是正项级数， (1)如果 ，且级数 收敛, 则级数 收敛； (2)如果 或 且级数 发散,则级数 发散。 n=1 un n=1 n v l v u n n n = → lim (0 l +) n=1 n v n=1 un lim = 0 → l v u n n n = + → n n n v u lim n=1 n v n=1 un
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2判定级数∑sin的收敛性。 n=1 解因为 SIn n=1>0, n 而级数∑发散,根据定理3知此级数是发散的。 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 判定级数 =1 1 sin n n 的收敛性。 解 因为 1 0, 1 1 sin lim = → n n n 而级数 =1 1 n n 发散，根据定理3知此级数是发散的
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)设∑n为正项级数, 如果Im-=p则当1或 lim n+1 时级数发散当P=1时级数可能收敛也可能发散。 n-)oo M 例3证明级数 1.21·2·3 1·2·3…(n-1) 是收敛的,并估计此级数的部分和Sn近似代替和S所 产生的误差。 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理4 （比值审敛法，达朗贝尔判别法）设 为正项级数 ， 如果 则当 时级数收敛；当 或 n=1 un 时级数发散；当 时级数可能收敛也可能发散。 + = 1 1 → n n n u u 1 lim= + → n n n u u 1 lim = 1 + − + + + + 1 2 3 ( 1) 1 1 2 3 1 1 2 1 1 n n s s 例3 证明级数 是收敛的，并估计此级数的部分和 近似代替和 所 产生的误差
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4判定级数 11.21.2·3 1010210 10n 的收敛性。 解因为 n+1(n+1)!100n+1 10n+1n2!10 lir n+1 l lim n+l n→0 L.n→>∞10 根据比值审敛法可知所给级数发散。 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例4 判定级数 ++ + + + n n 10 ! 10 1 2 3 10 1 2 10 1 2 3 的收敛性。 解 因为 , 10 1 ! 10 10 ( 1)! 1 1 + = + = + + n n n u u n n n n . 10 1 lim 1 lim = + = → + → n u u n n n n 根据比值审敛法可知所给级数发散
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理5(根值审敛法,柯西判别法) 设∑an为正项级数,如果 lim/u=p, H=1 n→0 则当p1(或lim{an=+0) n→ 时级数发散;p=1时级数可能收敛也可能发散。 例5判定级数∑2+的收敛性 解因为 im、an=lim2+(-1)=2 n→0 n-0 2 所以,根据根植审敛法知所给级数收敛。 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理5（根值审敛法，柯西判别法） 设 为正项级数，如果 ， 则当 时级数收敛； （或 ） 时级数发散； 时级数可能收敛也可能发散。 n=1 un 1 1 = 1 例5 判定级数 = + − 1 2 2 ( 1) n n n 的收敛性。 解 因为 2 1 2 ( 1) 2 1 lim = lim + − = → → n n n n n n u 所以，根据根植审敛法知所给级数收敛。 = → n n n lim u = + → n n n lim u
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理6(极限审敛法)设∑为正项级数, H=1 (1)如果 lim nun=l>aim nun=+o j= ∑un发散。 n→0 n→0 (2)如果p>1,而limn"un=l(0≤l<+∞)收敛。 n→c ∑un收敛。 n=1 例6判定级数∑m1+)的收敛性。 n 解因Im(1+-2)~2(n→∞),故 n lim n In(1+-) n→o n→)0 n 根据极限审敛法,知所给级数收敛。 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定理6（极限审敛法）设 为正项级数， n=1 un (1)如果 (2)如果 ,而 发散。 p 1 收敛。 例6 判定级数 ) 1 ln(1 1 2 = + n n 的收敛性。 解 因 ( ), 1 ) ~ 1 ln(1+ 2 2 n → n n 故 ) 1, 1 lim lim ln(1 2 2 2 = + = → → n n u n n n n 根据极限审敛法，知所给级数收敛。 = → → = = + 1 lim 0, lim , n n n n n n nu l nu u lim = (0 + ) → n u l l n p n 收敛。 n=1 un
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、交错级数及其审敛法 交错级数交错级数是指这样的级数,它的各项是正负交错 的,从而可以写成的形式:1-L2+3-L4+ 或-u1+2-3+u4-…其中1,2,“都是正数。 定理7(莱布尼茨定理,交错级数审敛法) 如果交错级数∑(-1)un满足条件: (1)Ln≥Ln+1(n=1,2,…) (2)lim u=0 n→0 则级数收敛,且其和Ss1,其余项的绝对值|≤un tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 交错级数 交错级数是指这样的级数，它的各项是正负交错 的，从而可以写成的形式： u1 − u2 + u3 − u4 + 或 − u1 + u2 − u3 + u4 − 其中 u1 , u2 , 都是正数。 二、交错级数及其审敛法 定理7（莱布尼茨定理，交错级数审敛法） n n n u = − − 1 1 ( 1) ( 1 , 2 , ); un un+1 n = lim = 0 → n n u (1) (2) 则级数收敛，且其和 s u1 , 其余项的绝对值 . n un+1 r 如果交错级数 满足条件：
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics 绝对收敛与条件收敛 概念设∑为常数项级数,如果它的各项的绝对值所构成的 正项级数∑叫收敛,则称级数∑n绝对收敛;如果级 1= 数∑u收敛,而级数∑m发散,则称级数∑4条件收敛 H=1 定理8如果级数∑u绝对收敛,则级数∑u,必定收敛。 定理9绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛, 且与原级数有相同的和。 tianjin Polytechnic univerity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 概念 设 为常数项级数，如果它的各项的绝对值所构成的 正项级数 收敛，则称级数 绝对收敛；如果级 数 收敛，而级数 发散，则称级数 条件收敛 n=1 un n=1 un n=1 un n=1 un n=1 un n=1 un 绝对收敛与条件收敛 定理8 如果级数 绝对收敛，则级数 必定收敛。 n=1 un n=1 un *定理9 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛， 且与原级数有相同的和