⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第四节对面积的曲面积分 、概念的引入 二、对面积曲面积分的概念与性质 对面积曲面积分的计算法 四、总结 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第四节 对面积的曲面积分 一、概念的引入 二、对面积曲面积分的概念与性质 三、对面积曲面积分的计算法 四、总结
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 概念的引入 实例若曲面Σ是光滑的,它的面密度为连续函数 p(x,y,z),求它的质量 所谓曲面光滑即曲 面上各点处都有切平面, 且当点在曲面上连续移 A000 动时,切平面也连续转动 200 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、概念的引入 若曲面是光滑的, 它的面密度为连续函数 (x, y,z), 求它的质量. 实例 所谓曲面光滑即曲 面上各点处都有切平面, 且当点在曲面上连续移 动时,切平面也连续转动
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 二、对面积的曲面积分的概念与性质 1.定义设曲面∑是光滑的,函数f(x,y,z) 上有界,把分成n小块△S;(S;同时也表示 第小块曲面的面积),设点(,7,分为△Sz上 任意取定的点作乘积f(5,m5)△S 并作和∑f(5,m,分)AS,如果当各小块曲面 的直径的最大值→>0时,这和式的极限存在 则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、对面积的曲面积分的概念与性质 设曲面 是光滑的, 函数 f (x, y,z)在 上有界, 把 分成n 小块Si （Si 同时也表示 第i 小块曲面的面积）,设点( , , ) i i i 为Si 上 任意取定的点,作乘积 ( , , ) i i i f Si , 并作和 = n i i i i f 1 ( , , ) Si, 如果当各小块曲面 的直径的最大值 → 0时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f (x, y,z)在曲面上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分. 1.定义
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 记为 ∫(x,y,z)dS 即f(x,y,z)ds=im∑f(5,n,)△S 元→0 其中f(x,y,z州叫被积函数,Σ叫积分曲面 2.对面积的曲面积分的性质 若Σ可分为分片光滑的曲面∑1及∑2,则 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 即 f (x, y,z)dS i i i n i = f i S = → lim ( , , ) 1 0 记为 f (x, y,z)dS. f (x, y,z)dS = + 1 2 f (x, y,z)dS f (x, y,z)dS. 2.对面积的曲面积分的性质 若可分为分片光滑的曲面1及2 , 则 其中 f (x, y,z)叫被积函数，叫积分曲面
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、对面积的曲面积分的计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种: 若曲面∑:z=x(x,y) 则 ∫(x,y,z)dS fIx,y,z(x, y)/1+zx+z7dxdy tianjin polytechnic la
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 三、对面积的曲面积分的计算法 [ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z x y z z dxdy Dxy x y + + = f (x, y,z)dS 1. 若曲面 : z = z(x, y) 则 按照曲面的不同情况分为以下三种：
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 2.若曲面Σ:y=y(x,z) 则∫∫(x,y,x)S= ∑ fIx, y(x, 2), z1 1+yx+y2 dxdz 3.若曲面∑:x=x(y,z) 则∫∫f(x,y,x)ds= ∑ ∫021+x2+x2oh tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics [ , ( , ), ] 1 ; 2 2 f x y x z z y y dxdz Dxz x z + + = 则 f (x, y,z)dS [ ( , ), , ] 1 . 2 2 f x y z y z x x dydz Dyz y z + + = f (x, y,z)dS 3. 若曲面 ： x = x( y,z) 则 2 . 若曲面 : y = y ( x , z )
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例1计算曲面积分』,其中∑是球面x2+y2+z2=a2 被平面z=h(0<h<a)截出的顶部。 解∑的方程为 ∑在xOy面上的投影区域Dn为圆形闭区域 x,y)|x2+y2≤a2-B2又 x -y tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例 1 计算曲面积分 解 , z dS 其中 是球面 2 2 2 2 x + y + z = a 被平面 z = h (0 h a) 截出的顶部。 的方程为 2 2 2 z = a − x − y 在 xOy 面上的投影区域 Dxy 为圆形闭区域 ( , )| , 2 2 2 2 x y x + y a − h 又 2 2 2 2 2 1 a x y a z z x y − − + + =
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 根据公式有 ds add D x -y 利用极坐标,得 ls r apdp 2丌 a de d-p a-p =2gan h tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 根据公式有 − − = Dx y a x y adxdy z dS 2 2 2 利用极坐标，得 − − = − = 2 2 0 2 2 2 0 2 2 a h D a d a d a a d d z dS x y h a = 2a ln
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2计算(x2+y2+z2)s,其电为内接于球面 ∑ x2+y2+x2=a的八面体|x|+|y|+|z=a表面 解被积函数f(x,y,z)=x2+y2+z2, 关于坐标面、原点均对称, 积分曲配也具有对称性, 故原积分∫=8∫, (其中Σ1表示第一卦限部分曲面) tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 计算 (x y z )dS 2 2 2 + + , 其中 为内接于球面 2 2 2 2 x + y + z = a 的八面体| x | + | y | + | z |= a表面. 例2 被积函数 f (x, y,z) = 2 2 2 解 x + y + z , 关于坐标面、原点均对称 , 积分曲面 也具有对称性 , 故原积分 = 1 8 , (其中1表示第一卦限部分曲面)
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o Σ1:x+y+z=a,即乙=a-x-y dS=1+x2+z,y=3 乐(x2+y2+2s=8(x2+y2+2 =8x2+y2+(a-x-y)33d =2、3m4 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 1：x + y + z = a, 即z = a − x − y dS z z dxdy x y 2 2 = 1+ + = 3dxdy (x y z )dS 2 2 2 + + = + + 1 8 ( ) 2 2 2 x y z dS x y a x y dxdy Dxy = 8 [ + + ( − − ) ] 3 2 2 2 2 3 . 4 = a