⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 第八节常系数齐次线性微分方程 定义 、二阶常系数齐次线性方程解法 、n阶常系数齐次线性方程解法 四、小结 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 第八节 常系数齐次线性微分方程 一、定义 二、二阶常系数齐次线性方程解法 三、n阶常系数齐次线性方程解法 四、小结
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 y+py++Pay+P,y=f(x) 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y+py+ay=0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y"+p+qy=∫(x) tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 一、定义 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y Pn y Pn y f x n n + + + − + = − n阶常系数线性微分方程的标准形式 y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 、二阶常系数齐次线性方程解法 y+py+ay=0 特征方程法 设y=e",将其代入上方程得 r+pr+ge=0 ≠0 故有r2+pr+q=0 特征方程 特征根r2==P±p2- 2 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 二、二阶常系数齐次线性方程解法 -----特征方程法 , rx 设 y = e 将其代入上方程, 得 ( ) 0 2 + + = rx r pr q e 0, rx e 故有 0 2 r + pr + q = 特征方程 , 2 4 2 1,2 p p q r − − 特征根 = y + py + qy = 0
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 有两个不相等的实根(△>0) 特征根为~P+、p-4,==PP2-4q 2 两个线性无关的特解 J=e,2= 得齐次方程的通解为y=C1e+C2e2 tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 有两个不相等的实根 , 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y = C e + C e ( 0) 特征根为
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 有两个相等的实根(△ 特征根为r=r1=-P,-特解为y=en, 设另一特解为y2=l(x)e4, 将y2,y2,y代入原方程并化简, u+(2r+p)+(r2+pr1+q)=0, 知"=0,取(x)=x,则y2=xenx, 得齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e; tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 有两个相等的实根 , 1 1 r x , y = e 2 1 2 p r = r = − ( = 0) 一特解为 得齐次方程的通解为 ( ) ; 1 1 2 r x y = C + C x e 将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u + r1 + p u + r1 + pr + q u = 知 u = 0, 取 u(x) = x, , 1 2 r x 则 y = xe ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y = u x e 特征根为
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 有一对共轭复根(A<0 特征根为r1=a+jB,n2=a-j, Vi=elatiN y2=e (a-jB)x 重新组合y1=7(V+y2)= e cos &, 2=.(y1-y2)=e"sinf, 得齐次方程的通解为 y=e(Ci cos px+C2 sin Bx). tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 有一对共轭复根 , r1 = + j , r2 = − j , ( ) 1 j x y e + = , ( ) 2 j x y e − = ( 0) 重新组合 ( ) 2 1 1 1 2 y = y + y e cos x, x = ( ) 2 1 2 1 2 y y j y = − e sin x, x = 得齐次方程的通解为 ( cos sin ). y e C1 x C2 x x = + 特征根为
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其 通解的方法称为特征方程法 例1求微分方程y-2y-3y=0的通解 解特征方程为r2-2r-3=0, 解得r=-1,n2=3 故所求通解为 y=173x tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其 通解的方法称为特征方程法. 求微分方程y －2y －3y = 0的通解. 解 特征方程为 2 3 0 , 2 r − r − = 解得 1, 3, r1 = − r2 = 故所求通解为 . 3 1 2 x x y = C e +C e − 例1
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例2求方程22+2+s=0满足初始条件 S=0=4s'l=-2的特解。 解所给方程的特征方程为 r2+2r+1=0 其根为=r2=-1,所求方程的通解为 s=(C+C,t)e 将条件S_=4sc=-2带入上式C1=4C2=2 所求方程的特解为 s=(4+2r)e tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 例2 求方程 2 0 2 2 + + s = dt ds dt d s 满足初始条件 s t=0 = 4、s' t=0 = −2 的特解。 解 所给方程的特征方程为 2 1 0 2 r + r + = 其根为 1, r1 = r2 = − 所求方程的通解为 t s C C t e − = ( + ) 1 2 将条件 s t=0 = 4、s' t=0 = −2 带入上式 C1 = 4,C2 = 2 所求方程的特解为 t s t e − = (4 + 2 )
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 例3求方程y-2y+5y=0的通解 解特征方程为r2-2r+5=0, 解得 r1,=1±2i 1,2 故所求通解为 y=e(C cos 2x+C2 sin 2x ). tianjin polytechnic dmivendity
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 求方程 y − 2y + 5y = 0的通解. 解 特征方程为 2 5 0 , 2 r − r + = 解得 1 2 , 1 2 r ， = i 故所求通解为 ( cos2 sin2 ). y e C1 x C2 x x = + 例3
⑩天掌 Teaching Plan on Advanced Mathematics o 三、m阶常系数齐次线性方程解法 y+Pv(n-1) +…+Pn-1y+Py=0 特征方程为r"+Pr"1+…+Pr+Pn=0 特征方程的根通解中的对应项 若是k重根r (C+C1x+…+Ck1x)ex 若是k重共轭 I(Co+Cir+.+Ckr")cos Bx 复根α±邝 +(Do+ dx+. + dkx)sin Bx]e tianjin Polytechic lmiwendity Nww
Tianjin Polytechnic University Teaching Plan on Advanced Mathematics 三、n阶常系数齐次线性方程解法 1 0 ( 1) 1 ( ) + + + − + = − y P y P y P y n n n n 特征方程为 0 1 1 + 1 + + − + = − n n n n r P r P r P 特征方程的根 通解中的对应项 若是k重根r k rx k (C C x C x )e 1 0 1 1 − + ++ − j k 复根 若是 重共轭 k x k k k D D x D x x e C C x C x x − − − − + + + + + + + ( )sin ] [( )cos 1 0 1 1 1 0 1 1