矩阵的初等变换与线性方程组——矩阵秩的概念

15、矩阵秩的概念 任何矩阵Anxn,总可经过有限次初等行变换 把它变为行阶梯形,行阶梯形矩阵中非零行的行 数是唯一确定的 定义1在m×n矩阵A中任取k行k列(k≤m k≤n),位于这些行列交叉处的k2个元素不改 变它们在A中所处的位置次序而得的阶行列式, 称为矩阵A的k阶子式

. , 数是唯一确定的 把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行 任何矩阵 Amn 总可经过有限次初等行变换 2 1 , , . m n A k k k m k n k A k A k    定义 在 矩阵 中任取 行 列（ ），位于这些行列交叉处的 个元素 不改 变它们在 中所处的位置次序而得的 阶行列式， 称为矩阵 的 阶子式 1.5、矩阵秩的概念

m×n矩阵A的k阶子式共有C●CA个 定义2设在矩阵A中有一个不等于0的r阶子 式D,且所有r+1阶子式(如果存在的话)全等 于0,那末D称为矩阵A最高阶非零子式,数r 称为矩阵A的秩,记作R(4④)并规定零矩阵的秩 等于零 m×n矩阵A的秩R(4)是A中不等于零的 子式的最高阶数 对于A,显有R(4)=R(4)

2 0 1 0 ( ) . . A r D r D A r A R A + 定义 设在矩阵 中有一个不等于 的 阶子 式 ，且所有 阶子式（如果存在的话）全等 于 ，那末 称为矩阵 的最高阶非零子式，数 称为矩阵 的秩，记作 并规定零矩阵的秩 等于零 . ( ) 子式的最高阶数 m  n 矩阵 A的秩 R A 是 A中不等于零的 对于 A T ， R(A ) R(A). T 显有 = 矩阵 的 阶子式共有 个. k n k mn A k Cm •C

123 例1求矩阵A=23-5|的秩 471 解在A中,12 ≠0 又∵A的3阶子式只有一个A,且A=0, R(A)=2

例 1 . 4 7 1 2 3 5 1 2 3 求矩阵 的秩   A = − 解 在 A中， 又  A 的 3阶子式只有一个 A， 0. 2 3 1 2  且 A = 0 ，  R ( A ) = 2

103 2000 31-2 例2求矩阵B= 2530 的秩 004 解∵B是一个行阶梯形矩阵,其非零行有3行, .B的所有4阶子式全为零 而03-2≠0,;R(B)=3 004

例 2 . 0 0 0 0 0 0 0 0 4 3 0 3 1 2 5 2 1 0 3 2 求矩阵 的秩   − − − − B = 解  B是一个行阶梯形矩阵，其非零行有3行，  B的所有 4阶子式全为零. 0, 0 0 4 0 3 2 2 1 3−  − 而  R(B) = 3

3-2 例3已知A=02-13,求该矩阵的秩 2〔 13 解 0)=2≠0,计算4的3阶子式, 13-21323-22 10023=秒,-13=0-13=0, 201-205015-215 R(A)=2

例3 已知 ，求该矩阵的秩．           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 A 2 0, 0 2 1 3  =  2 0 1 0 2 1 1 3 2 − − − 2 0 5 0 2 3 1 3 2 − 解 计算A的3阶子式， = 0, = 0, 0 1 5 2 1 3 3 2 2 − − 2 1 5 0 1 3 1 2 2 − − − = = 0, = 0, = = = 0.  R(A) = 2

13-22 另解对矩阵A=02-13做初等变换, 2015 13-22)(13-22 02-13~02-13 2015丿(0000 显然,非零行的行数为2, R(4 此方法简单!

对矩阵 做初等变换，           − − − = 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2 另解 A , 0 0 0 0 0 2 1 3 1 3 2 2 ~ 2 0 1 5 0 2 1 3 1 3 2 2           − −           − − −  显然，非零行的行数为2，  R(A) = 2. 此方法简单！

二、矩阵秩的求法 因为对于任何矩阵An,总可经过有限次初 等行变换把他变为行阶梯形 问题:经过变换矩阵的秩变吗? 定理1若A~B,则R(A)=R(B

问题：经过变换矩阵的秩变吗？ 二、矩阵秩的求法 . , 等行变换把他变为行阶梯形 因为对于任何矩阵Amn 总可经过有限次初 定理1 若 A~ B,则 R(A)= R(B)

初等变换求矩阵秩的方法: 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 33 23 例4设A= 565 求矩阵A的 201 秩,并求A的一个最高阶非零子式 解对A作初等行变换,变成行阶梯形矩阵:

初等变换求矩阵秩的方法： 把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵， 行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩. 例4 秩，并求 的一个最高阶非零子式． 设 求矩阵 的 A A , A 1 6 4 1 4 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 3 2 0 5 0             − − − − − = 解 对A作初等行变换，变成行阶梯形矩阵：

32050 3-236-1 2015-3 16-4-14 3-236-1 2015-3 32050

              − − − − − = 1 6 4 1 4 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 3 2 0 5 0 A               − − − − − 3 2 0 5 0 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 1 6 4 1 4 1 4 r  r

32050 3-236-1 2015-3 16-4-14 16414 f1<>r4 023 310 55 0

              − − − − − = 1 6 4 1 4 2 0 1 5 3 3 2 3 6 1 3 2 0 5 0 A               − − − − − 3 2 0 5 0 2 0 1 5 3 0 4 3 1 1 1 6 4 1 4 2 4 1 4 r r r r − 