常微分方程期中考试试卷(7) 一、填空题 1.方程=x2tany的所有常数解是 2.方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0的常数解是 3.一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的 一条曲线 4.方程y"+y=0的基本解组是 二、选择题 1.n阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是()个 (A)n (B)n-1 (C)n+1 (D)n+2 2.李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的()条 件 (A)充分 (B)必要 (C)充分必要(D)必要非 充分 3.方程=√1-y2过点(,1)共有()个解. d 2 (A)一 (B)无数 (C)两 (D)三 4.方程=√y-x+x()奇解. d (A)有一个 (B)有两个 (C)无(D)有无数个 5.方程=√的奇解是() (A)y=x (B)y=1 (C)y=-1 (D)y=0 三、计算题 1.xy=)x2+y2+y
常微分方程期中考试试卷(7) 一、填空题 1．方程 x y x y tan d d 2 = 的所有常数解是 ． 2．方程 ( 1)d ( 1)d 0 2 2 x y − x + y x − y = 的常数解是 ． 3．一阶微分方程的一个特解的图像是 维空间上的 一条曲线． 4．方程 y + y = 0 的基本解组是 ． 二、选择题 1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ ）个． （A） n （B） n -1 （C） n +1 （D） n +2 2．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ ）条 件． （A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）必要非 充分 3. 方程 2 1 d d y x y = − 过点 , 1) 2 ( 共有（ ）个解． （A）一 （B）无数 （C）两 （D）三 4．方程 y x x x y = − + d d （ ）奇解． （A）有一个 （B）有两个 （C）无 （D）有无数个 5．方程 y x y = d d 的奇解是（ ）． （A） y = x （B） y = 1 （C） y = −1 （D） y = 0 三、计算题 1.x ' y = 2 2 x + y +y
2. tgydx-ctydy=0 3.(x+2y)dx-xdy=0 y 5. ydx+(3+Inx)dy=0 四、求下列方程的通解或通积分 2. 试卷答案 、填空题 k丌,k=0.±1,±2 ±1,x=±1 3.2 选择题 1.A2.B3.B4.C5.D
2.tgydx-ctydy=0 3. (x + 2y)dx − xdy = 0 4. 1 d d = + x y x y 5. d ( ln )d 0 3 x + y + x y = x y 四、求下列方程的通解或通积分 1. (1 ) d d 2 x y x y y = − 2. 2 ( ) d d x y x y x y = − 3. x y x y 2 3 e d d + = 试卷答案 一、填空题 1. y = k ，k = 0, 1, 2, 2. y = 1， x = 1 3.2 4. cos x，sin x 二、选择题 1.A 2.B 3.B 4.C 5.D
三、计算题 1.解:将方程改写为-+2(*)令m=y,得到 y+u则()变为x=-,变量分离并两边积分得 arcsin=lnk+lnC,故方程的解为 arcsin2 2.解:变量分离 ctgxdy= t gdx,两边积分得 ln(siny)=- n cos x+C或 sinycosx=C(*)另外,由tgy=0 或ctgx=0得y=kz(k=0、1…),x=tr+z(t=0、1…)也是方 程的解。tgy=或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况, 故原方程的解为 Slnycosx=C。 3.方程化为 dy 1+2 y dy y=xu 则 u+x 代入上式,得 如分十 1+t 分量变量,积分,通解为 原方程通解为 4.解齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为
三、计算题 1． 解：将方程改写为 ' y = 2 1 x y − + x y （*） 令 u= x y ,得到 ' y =x ' u +u,则(*)变为 x dx du = 1− u , 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln u +lnC, 故方程的解为 arcsin x y =lnCx。 2． 解：变量分离 ctgxdy=tgydx, 两边积分得 ln(siny)=-ln cos x +C 或 sinycosx=C (*) 另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k (k=0、1…) ，x=t + 2 (t=0、1…)也是方 程的解。 tgy=0 或 ctgx=0 的解是(*)当 C=0 时的特殊情况， 故原方程的解为 sinycosx=C。 3. 方程化为 x y x y 1 2 d d = + 令 y = xu ，则 x u u x x y d d d d = + ，代入上式，得 u x u x = 1+ d d 分量变量，积分，通解为 u = Cx −1 原方程通解为 y = Cx − x 2 4．解 齐次方程的通解为 y = Cx 令非齐次方程的特解为
y=C(x)x 代入原方程,确定出C(x)=lnx+C 原方程的通解为 y 5.解因为M 所以原方程是全微分方程 ax 取(x0,y0)=(1,0),原方程的通积分为 ∫:d+∫yd=C即y C 四、求下列方程的通解或通积分 1.解当y≠1时,分离变量得 - dy= xdx 等式两端积分得 dy=xdx+ CI C 方程的通积分为 2.解令y=x,则y=u+x,代入原方程,得 du 当u≠0时,分离变量,再积分,得
y = C(x)x 代入原方程，确定出 C(x) = ln x + C 原方程的通解为 y = Cx + x ln x 5．解 因为 x N y x M = = 1 ，所以原方程是全微分方程 取 ( , ) (1, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 x y y C x x y y + = 0 3 1 d d 即 y x + y = C 4 4 1 ln 四、求下列方程的通解或通积分 1．解 当 y 1 时，分离变量得 y x x y y d d 1 2 = − 等式两端积分得 2 d d 1 1 y x x C y y = + − 1 2 2 2 1 ln1 2 1 − y = x + C 1 2 2 2 1 e , e x C y C C − − − = = 方程的通积分为 2 1 e 2 x y C − = − 2．解 令 y = xu ，则 x u y u x d d = + ，代入原方程，得 2 d d u u x u u + x = − ， 2 d d u x u x = − 当 u 0 时，分离变量，再积分，得
=In/x+C,u 即通积分为 In x+C 3.解齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 y=C(xe- 代入原方程,确定出C(x)=-e3x+C 原方程的通解为 y Ce-xt-e
C x x u u − = + d d 2 x C u = ln + 1 ， x C u + = ln 1 即通积分为： x C x y + = ln 3．解 齐次方程的通解为 x y C 3 e − = 令非齐次方程的特解为 x y C x 3 ( )e − = 代入原方程，确定出 C x C x = + 5 e 5 1 ( ) 原方程的通解为 x y C 3 e − = + 2x e 5 1