常微分期终测试卷 班级 姓名 学号 一、填空题 )称为变量分离方程,它有积分因子( 2、当( )时,方程M(x,y)ax+N(x,y)dh=0称为恰当方程,或称全 微分方程 3、函数∫(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件,如果( 4、对毕卡逼近序列,2(x)-94-(x)≤O 5、解线性方程的常用方法有( 6、若X()(=1,2,…m)为齐线性方程的n个线性无关解,则这一齐线性方程的所有解可 表为( 7、方程组x'=A()x( 8、若p(1)和v(1)都是x'=A()x的基解矩阵,则φ()和v(1)具有关系:( 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时,则当其实部( )时,零解是稳定的,对 应的奇点称为 10、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时,则当 )时,零解是渐近 稳定的,对应的奇点称为( )。当( )时,零解是不稳定的,对应的 奇点称为( 11、若φ()是x'=A()x的基解矩阵,则x'=A(1)x=f(1)满足x(t0)=n的解 二、计算题 求下列方程的通解 =4 e-y sin x-1。 y1- 3、求方程 dy a+y通过(0,0)的第三次近似解。 求解下列常系数线性方程。 4、x"+x'+x=0 试求下列线性方程组的奇点,并通过变换将奇点变为原点,进一步判断奇点的类型及稳定性
常微分期终测试卷 班级: 姓名: 学号: 一、填空题 1、（ ）称为变量分离方程,它有积分因子( )。 ２、当（ ）时，方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 称为恰当方程，或称全 微分方程。 ３、函数 f (x, y) 称为在矩形域Ｒ上关于 y 满足利普希兹条件，如果（ ）。 ４、对毕卡逼近序列， ( ) ( ) () k x − k−1 x 。 ５、解线性方程的常用方法有（ ）。 ６、若 X (t)(i 1,2, ,n) i = 为齐线性方程的 n 个线性无关解，则这一齐线性方程的所有解可 表为（ ）。 ７、方程组 x = A(t)x （ ）。 ８、若 (t) 和 (t) 都是 x = A(t)x 的基解矩阵，则 (t) 和 (t) 具有关系：（ ）。 ９、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部（ ）时，零解是稳定的，对 应的奇点称为（ ）。 １０、当方程组的特征方程有两个相异的特征根时，则当（ ）时，零解是渐近 稳定的，对应的奇点称为（ ）。当（ ）时，零解是不稳定的，对应的 奇点称为（ ）。 １１、 若 (t) 是 x = A(t)x 的 基 解 矩 阵 ， 则 x = A(t)x = f (t) 满 足 x(t 0 ) = 的 解 （ ）。 二、计算题 求下列方程的通解。 １、 = 4 sin −1 − e x dx dy y 。 ２、 1 ( ) 1 2 2 = − dx dy y 。 ３、求方程 2 x y dx dy = + 通过 (0,0) 的第三次近似解。 求解下列常系数线性方程。 ４、 x + x + x = 0。 ５、 t x − x = e 。 试求下列线性方程组的奇点，并通过变换将奇点变为原点，进一步判断奇点的类型及稳定性：
dy 三、证明题 1、设(1)为方程x'=Ax(A为nxn常数矩阵)的标准基解矩阵(即叭(0)=E),证明 d()φ(t)=p(t-)其中t0为某一值。 答案: 填空题 1、形如=f(x)g(x)的方程 dx g) OM aN 3、存在常数L>0,对于所有(x1,y)、(x2y2)∈R都有使得不等式 (x,y)-f(x2y2)≤p1-y2成立 ML 5、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法 6、x()=∑c,x(),其中C1C2…,Cn是任意常数 、n个线性无关的解x1(1),x2(1),…x(1)称之为x'=A(D)x的一个基本解组 8、v(1)=p()c(a≤t≤b)c为非奇异常数矩阵 9、等于零 稳定中心 10、两根同号且均为负实数稳定结点两根异号或两根同号且均为正实数 不稳定鞍点或不稳定结点 P(1o-(o)n+o(olo-(s)f(s)ds 、计算题 1、解:方程可化为 -e+sin x-1 令2=e”,得2=-2+4smx
６、 = − − +!, = x − y − 5 dt dy x y dt dx 。 三、证明题。 １、设 (t) 为方程 x = Ax （Ａ为 nn 常数矩阵）的标准基解矩阵（即 (0) = E) ，证明 (t) ( ) ( ) 0 0 1 t = t − t − 其中 0 t 为某一值。 答案： 一、填空题 １、形如 f (x)g(x) dx dy = 的方程 ( ) 1 g y u = ２、 x N y M = ３、存在常数Ｌ >0 ，对于所有 (x1 , y1 ),(x2, y2 ) R 都 有 使 得 不 等 式 1 1 2, 2 1 2 f (x , y ) − f (x y ) L y − y 成立 ４、 k k h k ML ! −1 ５、常数变异法、待定系数法、幂级数解法、拉普拉斯变换法 ６、 ( ) ( ) 1 x t c x t i n i i = = ，其中 n c c , ,c 1, 2 是任意常数 ７、 n 个线性无关的解 ( ), ( ), ( ) 1 2 x t x t x t n 称之为 x = A(t)x 的一个基本解组 ８、 (t) ＝(t) c (a t b) c 为非奇异常数矩阵 ９、等于零 稳定中心 １０、两根同号且均为负实数 稳定结点 两根异号或两根同号且均为正实数 不稳定鞍点或不稳定结点 １１、 t t t s f s ds t t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 − − = + 二、计算题 １、解：方程可化为 = −e + 4sin x −1 dx de y y 令 y z = e ，得 z x dx dz = − + 4sin
由一阶线性方程的求解公式,得 (-1)dx 4 sin xe )dx+c=e-2(sin x-cosx)l- +c=2(sin x-cosx)+ce 所以原方程为 2(sin x-cos x)+ce 2、解 设 arb=sint,则有y=sect 从而 - tgt. sec tdt+c= sec tdt +t=tgt+c 故方程的解为 sin t (x+c)2+1=y2,另外y=±1也是方程的解 3、解:90(x)=0 P,(x)=xdx= ()(x+x)x=2x2+20x3 g(x)=|x+(2x2+n0x)=+1x× 11 4400 4、解:对应的特征方程为:x2++1=0,解得A= 所以方程的通解为:x=e2(c1cos-t+c2sinD) 5、解:齐线性方程x"”-x=0的特征方程为2-1=0,解得1=1,23 故齐线性方程的基本解组为:e,e2cosi,e2sini,因为λ=1是特征根, 所以原方程有形如x(1)=te’,代入原方程得,3!e'+e'-Ae'=e',所以 A=,所以原方程的通解为x=ce2+c2e2cos-i+c3e2sin=i+le X 解得 所以奇点为(3.-2)经变换, x-y-5=0
由一阶线性方程的求解公式，得 x x x dx dx z e xe dx c e x x e c x x ce − − − − − + = − + = − + = ( 4sin ) 2(sin cos ) 2(sin cos ) ( 1) ( 1) 所以原方程为： y e ＝ x x x ce − 2(sin − cos ) + ２、解：设 p t dx dy = = sin ， 则 有 y = sec t ，从而 tgt tdt c tdt t tgt c t x = + = + = + 2 sec sec sin 1 ， 故 方 程 的 解 为 2 2 (x + c) +1 = y ，另外 y = 1 也是方程的解 ３、解： 0 (x) = 0 2 0 1 2 1 (x) xdx x x = = 2 5 0 4 2 20 1 2 1 ) 4 1 (x) (x x dx x x x = + = + x x x x dx x x x x dx x x = + + + = + + 0 4 10 7 0 2 5 2 3 20 1 400 1 4 1 ) 20 1 2 1 ( ) ( 2 5 11 8 160 1 4400 1 20 1 2 1 = x + x + x + x ４、解：对应的特征方程为： 1 0 2 + + = ，解得 i i 2 3 , 2 3 2 1 2 2 1 1 = − + = − − 所以方程的通解为： ) 2 3 sin 2 3 ( cos 1 2 2 1 x e c t c t t = + − ５、解：齐线性方程 x − x = 0 的特征方程为 1 0 3 − = ，解得 2 1 3 1, 1 2,3 − i = = ， 故齐线性方程的基本解组为： e e i e i t 2 3 , sin 2 3 , cos 2 1 2 1 − − ，因为 = 1 是特征根， 所以原方程有形如 t x(t) = tAe ，代入原方程得， t t t t 3Ae + Ate − Ate = e ，所以 3 1 A = ，所以原方程的通解为 2 1 1 2 − x = c e + c e t t i c e i te 3 1 2 3 sin 2 3 cos 2 1 + 3 + − ６、解： − − = − − + = 5 0 ! 0 x y x y 解得 = − = 2 3 y x 所以奇点为（ 3,−2) 经变换， = + = − 3 3 Y y X x
dx X-y 方程组化为{d 因为 dy dt 12 =(4+1)2+1=0所以A1=-1+i,2=-1-1,故奇点为 稳定焦点,所对应的零解为渐近稳定的。 三、证明题 1、证明:p(1)为方程x'=Ax的基解矩阵φ-(t0)为一非奇异常数矩阵,所以 (0)也是方程x=Ax的基解矩阵,且(-)也是方程x=A 的基解矩阵,且都满足初始条件如().()=E,如(0-10)=(0)=E 所以p(1)φ-(10)=p(t-t0)
方 程 组 化 为 = − = − − X Y dt dy X Y dt dx 因 为 0, 1 1 1 1 − − − 又 ( 1) 1 0 1 1 1 1 2 = + + = − + + 所以 = −1+ i, = −1− i 1 2 ，故奇点为 稳定焦点，所对应的零解为渐近稳定的。 三、证明题 １、证明： (t) 为方程 x = Ax 的基解矩阵 ( ) 0 1 t − 为一非奇异常数矩阵，所以 (t) ( ) 0 1 t − 也是方程 x = Ax 的基解矩阵，且 ( ) 0 t − t 也是方程 x = Ax 的基解矩阵，且都满足初始条件 (t) ( ) 0 1 t − = E ，(t 0 − t 0 ) = (0) = E 所以 (t) ( ) ( ) 0 0 1 t = t − t −