常微分方程期中测试卷(9) 班级 姓名 学号 得分 一、填空 1.形如 称为变量可分离方程,它有积分因 子 。 2.当 ,方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程,或全 微分方程。且它只含x的积分因子的充要条件是 。有只含y的积分 因子的充要条件是 3 称为伯努利方程,它有积分因子 4.方程=a1x+bx+1x,当1b≠0时,通过 ,可化为奇 次方程,a,b|=0时,令u= ,化为变量分离方程。 5 称为黎卡提方程,若它有一个特解y(x),则经过变换 ,可化为伯努利方程。 6.函数f(x,y)称为在矩形域R上关于y满足利普希兹条件,如果存在常数L>0, 使(x,y)(x,y2)∈R,使不等式 7.如果f(x,y) ,则=f(x,y)存在唯一解 y=(x)定义于区间|x-x|≤h上,连续且满足初始条件yo=(x)其中h= 8.设y=(x)是方程=f(x,y)的定义于区间x≤x≤x+h上,满足初始条件 dx yo=(x)的解,则y=(x)是积分方程 的定义于 x≤x≤x+h上的连续解 9微分方程的某一个解称为奇解,如果 也就是 说奇解是这样的一个解,在它上面的每一点唯一性都不成立。 10.方程=1+lnx满足条件y(1)=0的解的存在区间是 dx 二、求解下列方程的通解
常微分方程期中测试卷 (9) 班级 姓名 学号 得分 一、填空 1. 形 如 ___________________ 称 为 变 量 可 分 离 方 程 ， 它 有 积 分 因 子 。 2.当__________________时，方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 称为恰当方程，或全 微分方程。且它只含 x 的积分因子的充要条件是___________。有只含 y 的积分 因子的充要条件是_________________。 3. ____________________ 称 为 伯 努 利 方 程 ， 它 有 积 分 因 子 ______________ 。 4.方程 , 2 2 2 1 1 1 a x b x c x a x b x c x dx dy + + + + = 当 0 1 1 1 1 c d a b 时，通过_______________，可化为奇 次方程；当 0 1 1 1 1 = c d a b 时，令 u = ______________，化为变量分离方程。 5. ______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解 y(x) ，则经过变换 _________________，可化为伯努利方程。 6.函数 f (x, y) 称为在矩形域 R 上关于 y 满足利普希兹条件，如果存在常数 L>0, 使 (x, y1 ),(x, y2 ) R ，使不等式_____________________。 7. 如 果 f (x, y) ___________________________ ， 则 f (x y) dx dy = , 存 在 唯 一 解 y = (x), 定义于区间 x − x0 h 上，连续且满足初始条件 ( ), 0 0 y = x 其中 h = _________________。 8.设 y = (x) 是方程 f (x y) dx dy = , 的定义于区间 x0 x x0 + h 上，满足初始条件 ( ), 0 0 y = x 的 解 ， 则 y = (x) 是积分方程 ____________________ 的 定 义 于 x0 x x0 + h 上的连续解 9.微分方程的某一个解称为奇解，如果_____________________________,也就是 说奇解是这样的一个解，在它上面的每一点唯一性都不成立。 10.方程 x dx dy = 1+ ln 满足条件 y(1) = 0 的解的存在区间是________________。 二、求解下列方程的通解
dy 2y =(x 1) d xx+1 2、2xdy=(2y2-xkax 3、(-1-xkx+xcdy=0 4、y2(-1)=(2-y)2 4x=0 d x 如一 三、计算 求初值问题 x2-yR:x+l≤1y≤1 (-1)=0 四、证明 1、假设方程M(x,y)kx+N(xy如=0中函数M(x,y) OM ON M(x)-M(),其中x,gy)分别为x,y的连续函数,试 证:此方程有积分因子=e)小和y 答案 填空 f(x)o()的方程 d x aM(x,y)aN(x, y) aM(x, y) aN(x,y) 9 aM(x, y) aN(x,y) =o(y) M plx)y+gx)y" u 1(n-bp(x) d x 坐标平移a1x+by
1、 ( ) 3 1 1 2 = + + − x x y dx dy 2、 xydy = ( y − x)dx 2 2 2 3、(y −1− xy)dx + xdy = 0 4、 ( ) ( ) 2 2 y y −1 = 2 − y 5、 2 4 0 2 + = − x dx dy y dx dy x 6、 2 6 xy x y dx dy = − 三、计算 求初值问题 ( ) : 1 1, 1 1 0 2 2 + − = = − R x y y x y dx dy 四、证明 1、假设方 程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0 中函数 M (x, y) ， N(x, y) y M - x N = Nf (x) − Mg(y),其中 f(x)，g(y)分别为 x, y 的连续函数，试 证 ：此方程有积分因子 e f x dx g y dy = ( ) + ( ) 答案 一、填空 1、 f (x) (y) dx dy = 的方程 (y) 1 2 、 ( ) ( ) x N x y y M x y = , , ( ) ( ) (x) N x N x y y M x y = − , , ( ) ( ) (y) M x N x y y M x y = − − , , 3、 ( ) ( ) n p x y q x y dx dy = + ( ) ( ) = n− p x dx n e y u 1 1 4、坐标平移 a x b y 1 + 1
5、中=p(x)2+9(x)y+1(x)y=x)+ Ix,y-f(x, y2)sLIy-y2 7、在R上连续且关于y利普希兹条件mm(a.b 8、y=y+「f(xykx 9、在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解存在 10、0<x< 、通求解 1、解 dx x+2 y+(x+1)为一阶线性方程 p()=x+29()=(x+)代入公式,得 方程的通解为y=(x+)(x2+x+c 2、解 2y2-x=2y2-1为一阶线性方程 px)==q(x)=-1代入公式,得 所以方程的通解为y2=x+cx 3、解:(y-1-ykx+zy=0两边同时乘以e,方程为恰当方程 dx+xe-*dy=0 ydx-e dx-xye dx+xe- dy=0 d tde =o 所以方程的通解为xyex+e-x+c=0 4、解:令2-y=y则原方程消去y后,有 2(-y)=y2t2由此,得
5、 p(x)y q(x)y r(x) dx dy = + + 2 y = y(x) + z 6、 ( ) ( ) 1 2 1 2 f x, y − f x, y L y − y 7、在 R 上连续且关于 y 利普希兹条件 m b min a, 8、 y y f (x y)dx x x = + 0 , 0 9、在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解存在 10、0 x + 二、通求解 1、解： ( ) 3 1 2 2 + + + = y x dx x dy 为一阶线性方程 ( ) 2 2 + = x p x ( ) ( ) 3 q x = x +1 代入公式，得 方程的通解为 ( ) y = x + x + x + c 2 2 2 1 1 2、解： 1 2 2 2 2 2 = − − = y x x y x dx dy 为一阶线性方程 ( ) x p x 2 = q(x) = −1 代入公式，得 = − + − dx e dx c x dx x y e 2 2 2 = x ( x dx c ) x (x c ) − + = + − − 2 2 2 1 所以方程的通解为 2 2 y x cx = + 3、解： (y −1− xy)dx + xdy = 0 两边同时乘以 x e − ，方程为恰当方程 ( ) 0 0 0 1 0 + = + + = − − + = − − + = − − − − − − − − − − − x x x x x x x x x x x dxye de e dxy xyde de e ydx e dx xye dx xe dy e y xy dx xe dy 所以方程的通解为 + + = 0 − − xye e c x x 4、解：令 2 − y = yt 则原方程消去 y 后，有 ( ) 2 2 2 y 1− yt = y t 由此，得 t t y = − 1 dt t dy = − −1 1 2
v=1+t2 dx 所以x=-1d C=-+C x=-+c 故原方程的通解为 5、解:令y=p,得到y=p+两边对x求导,得 p'dx=xp-dp+4 po p2(pax-xdp)=4(pdx-xdp 当pdx-xd≠0时p2=4p=±2则y=±2x 当p一=0时即2=0421=0积分,得 x=c把p=代入,得y2?2c29=x2+4c2 6、解:这是n=2时的伯努利方程。令z=y 得在=-y2②代入原方程得到 dz 6 +x这是线性方程,求得它的通解为 = 代回原来的变量y,得到 c这就是原方程的通解 8 此外,方程还有解y=0 计算 解:M=maN(xy)=4则h= mina a=b=1所以h=了 b
2 y = 1+ t dt y t dy dx 2 1 = − = 所以 c t dt c t x = − + = + 1 1 2 故原方程的通解为 = − = + t t y c t x 1 1 5、解：令 y = p ，得到 p x p x y 2 2 = + 两边对 x 求导，得 p (pdx xdp) (pdx xdp) p dx xp dp pdx xdp − = − = + − 4 4 4 2 3 2 当 pdx − xdp 0 时 4 2 p = p = 2 则 y = 2x 当 pdx − xdp = 0 时 即 0 2 = − p pdx xdp = 0 p x d 积分，得 c p x = 把 c x p = 代入，得 c c x y 2 2 2 = + 2 2 2cy = x + 4c 6、解：这是 n = 2 时的伯努利方程。令 −1 z = y 得 dx dy y dx dz −2 = − 代入原方程得到 z x dx x dz = − + 6 这是线性方程，求得它的通解为 8 2 6 x x c z = + 代回原来的变量 y ，得到 c x y x − = 8 6 8 这就是原方程的通解 此外，方程还有解 y = 0 三、计算 解： M = max f (x, y) = 4 则 = M b h min a a = b = 1 所以 4 1 h =
所以解的存在区间为x+14 q(x)=0 ()=「xx=x 36118942 92(x)-g(x) 4*22(1 24 误差估计为 四、2.证明:tau心=Wg aM M「(x)+」x) f(r)dx+ g(y)dy +Mg(y)) 同理 0=N(h+小80NQ(xayh 「/(x)h+」g(y) +Nfx)) OMN=「/)小),少B以 N f(x) 又已知 OM aN Nf() -Ugly) ax 所以 MaN「(x)h+8(),0=0
所以解的存在区间为 4 1 x +1 ( ) ( ) ( ) 42 11 9 1 18 1 61 1 3 1 9 1 1 18 1 63 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 1 0 3 7 4 3 7 4 1 2 2 3 2 3 1 2 3 1 0 = − − − + − = − − − = − + = + − = = = − − x x x x x x x x dx x x x x x x x x dx x x x x y L y f = − = 2 2 ( ) ( ) ( ) 24 1 4 1 * 2 1 ! 4* 2 3 2 2 0 = + x − x 误差估计为 24 1 四 、 2. 证 明 ： 由 于 = y M = + y M y M y M e f x dx g y dy ( ) + ( ) y M e f x dx g y dy + ( ) + ( ) =e f x dx g y dy ( ) + ( ) （ + y M Mg(y)） 同理 = x N = + x N x N X N e f x dx g y dy ( ) + ( ) +N x e f x dx g y dy ( ) + ( ) =e f x dx g y dy ( ) + ( ) （ x N + N f(x)） 故 y M - x N =e f x dx g y dy ( ) + ( ) [ y M +Mg(y)- x N - N f(x)] 又已知 y M - x N = N f(x)- M g(y) 所以 y M - x N =e f x dx g y dy ( ) + ( ) ·0=0
duM duN 故此题中=e f(x)dr+ g()dy 是方程
即 y M = x N ， 故 此 题 中 e f x dx g y dy = ( ) + ( ) 是方程 M (x, y)dx + N(x, y)dy = 0