常微分方程期中考试试卷(6) 一.解下列方程 1.xy=)x2+y2+y 2. tgydx-ctydy=0 3. {y-x(+y2)}dx-xdy=0 4. 2xylnydx+{+y2 )+}dy=0 5.=6-xy2 6.y=2(y+22 x+y-1 7.已知f(x)f(1,x≠0,试求函数f(x)的一般表达式
常微分方程期中考试试卷(6) 一 . 解下列方程 1. x ' y = 2 2 x + y +y 2. tgydx-ctydy=0 3. {y-x( 2 x + 2 y )}dx-xdy=0 4. 2xylnydx+{ 2 x + 2 y 2 1+ y }dy=0 5. dx dy =6 x y -x 2 y 6. ' y =2 2 ) 1 2 ( + − + x y y 7. 已知 f(x) x f t dt 0 ( ) =1,x 0,试求函数 f(x)的一般表达式
8.一质量为m质点作直线运动,从速度为零的时刻起, 有一个和时间成正比(比例系数为k)的力作用在它 上面,此外质点又受到介质的阻力,这阻力和速度成 正比(比例系数为k2)。试求此质点的速度与时间的 关系。 证明题 证明:如果已知黎卡提方程的一个特解,则可用 初等方法求得它的通解, 2.试证:在微分方程Mdx+Ndy=0中,如果M、N试 同齐次函数,且xM+yN≠0,则 是该方程的 (xM+yM) 一个积分因子。 试题答案 02412-35 解下列方程
8．一质量为 m 质点作直线运动，从速度为零的时刻起， 有一个和时间成正比（比例系数为 1 k ）的力作用在它 上面，此外质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成 正比（比例系数为 2 k ）。试求此质点的速度与时间的 关系。 二． 证明题 1. 证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可用 初等方法求得它的通解。 2． 试证：在微分方程 Mdx+Ndy=0 中，如果 M、N 试 同齐次函数，且 xM+yN 0,则 ( ) 1 xM + yN 是该方程的 一个积分因子。 试题答案： 02412-35 一 . 解下列方程
1.解:将方程改写为y=|-2+2(*)令u=2,得到 x xy=xn+u则)变为x如=川-n,变量分离并两边积分得 arcsin=nl+lnC,故方程的解为 arcsin2=nCx 2.解:变量分离 ctgxdy= -tgydx,两边积分得ln(siny)= n/cos xl+C或 Sinycosx=C(*)另外,由tgy=0或ctgx=0得 y=kr(k=0、1…),x=tπ+a(t=0、1…)也是方程的解。tgy=0 2 或ctgx=0的解是(*)当C=0时的特殊情况,故原方程的解为 sinycosxC 解: ydx-xdy-x(x2+y)dx=0,两边同除以x2+y得 -xdx=0.即 d(arct)-dx2=0,故原方程的解为 arcto 1 OM aN 解:M=2xmy+2x,=2x则,ax=2xhy=-1,故方 -2xyIny y 程有积分因子(y)=e 原方程两边同乘以得 2lydx+x+yy+dy=0是恰当方程 x Iny) y2dy=0,两边积分得方程的解为
1． 解：将方程改写为 ' y = 2 1 x y − + x y （*） 令 u= x y ,得到 x ' y =x ' u + u,则(*)变为 x dx du = 1− u , 变量分离并两边积分得 arcsinu=ln u +lnC, 故方程的解为 arcsin x y =lnCx。 2． 解 ： 变 量 分 离 ctgxdy=tgydx, 两 边 积 分 得 ln(siny)= − ln cos x +C 或 sinycosx=C (*) 另外，由 tgy=0 或 ctgx=0 得 y=k (k=0、1…) ，x=t + 2 (t=0、1…)也是方程的解。 tgy=0 或 ctgx=0 的解是(*)当 C=0 时的特殊情况，故原方程的解为 sinycosx=C。 3． 解：ydx-xdy-x( 2 x + 2 y )dx=0,两边同除以 2 x + 2 y 得 2 2 ydx xdy x y − + − xdx=0,即 d(arctg x y ) − 1 2 d 2 x =0,故原方程的解为 arctg x y − 1 2 2 x =C。 4． 解： M y =2xlny+2x , N y =2x,则 M N y x M − − = 2 ln 2 ln x y − xy y =− 1 y ,故方 程 有 积分 因子 ( y) = 1 dy y e − = 1 y ， 原方 程 两边 同乘 以 1 y 得 2 ln xy y y dx+ 2 2 2 1 y y x + + y dy=0 是恰当方程 . d( 2 x lny)+y 2 1+ y dy=0, 两 边 积 分 得 方 程 的 解 为
5.解:1)y=0是方程的特解。2)当y≠0时,令z=y得 =-5zx这是线性方程,解得它的通解为z=c+x 代回原来的变量y得方程解为 x 6.解:令x3,y=-2,可将原方程变为如=2 u+y 再令z=,得到z+a 即 d lI (1+z 分离变量并两端积分得 2 -∫=+nC Bp In =1+2arctgz=-Inu+InC 2arctgz+Inc 代回原变量得v=Ce -2arctg +2 所以,原方程的解为y+2=Ce 7解令1),1M,两边求导得()= 即-y=y,即一与=dx,两边求积得=2x+C
2 x lny+ ( ) 3 1 2 2 3 1+ y =C。 5． 解：1）y=0 是方程的特解。2）当 y 0 时，令 z= 1 y − 得 dz dx = 6 x − z+x. 这是线性方程，解得它的通解为 z= 2 6 8 c x x + 代回原来的变量 y 得方程解为 1 y = 2 6 8 c x x + ；y=0. 6． 解：令 x=u+3, y=v − 2, 可将原方程变为 dv du = 2 2 v u v + ， 再令 z= v u ，得到 z+ dz u u = 2 2 1 z z + ，即 dz u u = ( ) ( ) 2 2 1 1 z z z + − + ， 分离变量并两端积分得 2 1 2 1 dz z z + + = du u − +lnC 即 ln z +2arctgz=−ln u +lnC， ln zu = − 2arctgz+lnC 代回原变量得 v=C 2 v arctg u e − 所以，原方程的解为 y+2=C 2 2 3 y arctg x e + − − . 7． 解：令 f(x)=y， 1 f x( ) = 0 ( ) x f t dt ，两边求导得 ( ) ' 1 y − =y， 即 1 ' y − y =y，即 3 1 dy y − =dx，两边求积得 2 1 y =2x+C
从而y 故fx)= 解:因为F=ma=m,又F=F1-F2=k-ky, 即 d u k-k(vO=0),即=k!-k2(V(0)=0) 解得 k k 二、证明题 解:1)先找到一个特解y=y 2)令y=y+z,化为n-2的伯努利方程。 证明:因为y=y为方程的解, 所以=P(x)+Qx)y+R(x)(1) 令y=y+z,则有 d +=P(x)(+2)+Q(x)(y+2)+R(x)(2) (2)-(1)得=P(x)(2y+22)+Q(x)z 2 Bp,=[2P(x)y+Q(x)Jz+P(x)z 此为n=2的伯努利方程。 证明:如M、N都是n次齐次函数,则因为
从而 y= 1 2x C + ，故 f(x)= 1 2x C + . 8． 解：因为 F=ma=m dv dt ，又 F= F1 −F2 = 1 2 k k t v − ， 即 m dv dt = 1 2 k k t v − (v(0)=0)，即 dv dt = 1 2 k k t v − (v(0)=0)， 解得 v= 1 2 2 k m k 2 t m k e + 1 2 k k (t 2 m k − ). 二、证明题 1. 解：1）先找到一个特解 y= y 。 2）令 y= y +z，化为 n=2 的伯努利方程。 证明：因为 y= y 为方程的解， 所以 dy dx =P(x) 2 y +Q(x) y +R(x) (1) 令 y= y +z，则有 dy dx + dz dx = P(x) 2 ( ) y z + +Q(x) ( ) y z + +R(x) (2) (2) − (1)得 dz dx = P(x) 2 (2 ) yz z + +Q(x)z 即 dz dx =[2P(x) y +Q(x)]z+P(x) 2 z 此为 n=2 的伯努利方程。 2. 证明：如 M、N 都是 n 次齐次函数，则因为
xM+yM,=nM,xN+yN,=nN,故有 可yxM+ yn a xA+yN M(xM+y)-M(xM +N+yNJ (xM+y) N(xM+yn)-N(M +M+yN) (xN +yX)-N(M+yNJ M+yM) M+yN 故命题成立
x M x +y M y =nM，x Nx +y N y =nN，故有 M N y xM yN x xM yN − + + = 2 ( ) ( ) ( ) y y y xM yN M x N y xM yN M M + − + + N + 2 ( ) ( ) ( ) x x x xM yN N x M y xM yN − N N + − + + M + = 2 ( ) ( ) ( ) M x yN N x y x y x xM yN − N N + − + M + = 2 ( ) ( ) ( ) M nN N nM xM yN − − + =0. 故命题成立