常微分方程期中测验试卷(3) 班级 姓名 学号 得分 1.辨别题 指出下列方程的阶数,是否是线性方程:(12%) (1)=y2+x2(2)=x+xsiny d'y, d2 (3)4-23+2=0 dx dxr dx dx3 dx dr (5)(d+2 ds 2、填空题(8%) (1).方程= tan的所有常数解是 dx (2).若y=y(x),y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解,则用这两个解可把其 通解表示为 (3).若方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0是全微分方程,同它的通积分是 (4).设M(x,yo)是可微曲线y=y(x)上的任意一点,过该点的切线在x轴和y轴上的 截距分别是 3、单选题(14%) (1).方程 yIn ydx+(x-lny)dy=0是( (A)可分离变量方程 (B)线性方程 (C)全微分方程 (D)贝努利方程 (2).方程=y(0≤y≤∞),过点(0,0)有() dx (A)一个解 (B)两个解 (C)无数个解 (D)三个解 (3).方程x(y2-1)dx+y(x2-1)dy=0的所有常数解是() (A)y=±1,x=±1 (B)y=±1 (C)x=±1 (D)y=1,x=1 (4).若函数y(x)满足方程xy+y-y2lnx=0,且在x=1时,y=1,则在x=e时 ) - (A) (B) (C)2 (D)e 2 (5).n阶线性齐次方程的所有解构成一个()线性空间 (A)n维(B)n+1维(C)n-1维(D)n+2维
常微分方程期中测验试卷(3) 班级________姓名_________学号_________得分_______ 1．辨别题 指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1） 2 2 d d y x x y = + （2） x x y x y sin d d = + （3） 0 d d d d 2 d d 2 2 3 3 4 4 − + = x y x y x y （4） x + x x + x = t （5） 2 2 3 d d ) 1 d d ( s r s r = + （6） d d 0 2 2 x y + y x = 2、填空题(8%) （1）．方程 x y x y tan d d = 的所有常数解是___________. （2）．若 y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其 通解表示为________________. （ 3 ） . 若方程 M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0 是全微 分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设 M(x0, y0)是可微曲线 y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在 x 轴和 y 轴上的 截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程 y ln ydx + (x − ln y)dy = 0 是（ ）. (A)可分离变量方程 （B）线性方程 (C)全微分方程 （D）贝努利方程 （2）．方程 (0 ) d d = y y x y ，过点（0，0）有（ ）. (A) 一个解 （B）两个解 (C) 无数个解 （D）三个解 （3）．方程 x(y 2－1)dx+y(x 2－1)dy=0 的所有常数解是（ ）. (A)y=±1, x=±1, (B) y=±1 (C) x=±1 (D) y=1, x=1 （4）．若函数 y(x)满足方程 ln 0 2 xy + y − y x = ，且在 x=1 时，y=1, 则在 x = e 时 y=( ). (A) e 1 (B) 2 1 (C)2 (D) e （5）． n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间． （A） n 维 （B） n +1 维 （C） n −1 维 （D） n + 2 维
(6).方程=√x-y+2()奇解 d (A)有三个 (B)无 (C)有一个 (D)有两个 (7).方程=3y3过点(0,0)() (A)有无数个解 (B)只有三个解 (C)只有解y=0 (D)只有两个解 4.计算题(40%) 求下列方程的通解或通积分: dy x dx 1+x (2) +5y=e (3).(x3+xy2)dx+(x2y+y3)dy=0 y-y (5).y(x-lny)=1 5.计算题(10%) 求方程y”-5y′=sin5x的通解 6.证明题(16%) 设f(x,y)在整个xoy平面上连续可微,且f(x,y)≡0.求证:方程 dy dr/(ry) 的非常数解y=y(x),当x→x时,有y(x)→y,那么x0必为-∞或+∞ 参考答案 1.辨别题 (1)一阶,非线性 (2)一阶,非线性 (3)四阶,线性 (4)三阶,非线性 (5)二阶,非线性 (6)一阶,非线性 填空题 (1).y=k,k=0,±1,+2,… (2).C1[Ly1(x)-y2(x)+y1(x) (3).M(x, y)dx+ N(xo, y)dy=0 Vo -xoJ
（6）. 方程 2 d d = x − y + x y （ ）奇解． （A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个 （7）．方程 3 2 3 d d y x y = 过点 (0, 0) （ ）． （A）有无数个解 （B）只有三个解 （C）只有解 y = 0 （D）只有两个解 4.计算题(40%) 求下列方程的通解或通积分： （1）. 2 d 1 d x xy x y + = （2）. x y x y 2 3 e d d + = （3）. ( )d ( )d 0 3 2 2 3 x + xy x + x y + y y = （4）. 2 ( ) d d x y x y x y = − （5）. y (x − ln y ) = 1 5. 计算题(10%) 求方程 y − 5y = sin 5x 的通解． 6．证明题（16%） 设 f (x, y) 在整个 xoy 平面上连续可微，且 f (x, y0 ) 0 ．求证：方程 ( , ) d d f x y x y = 的非常数解 y = y(x) ，当 0 x → x 时，有 0 y(x) → y ，那么 0 x 必为 − 或 + ． 参考答案： 1．辨别题 （1）一阶，非线性 （2）一阶，非线性 （3）四阶，线性 （4）三阶，非线性 （5）二阶，非线性 （6）一阶，非线性 2．填空题 （1）． y = k, k = 0,1,2, （2）． [ ( ) ( )] ( ) 1 1 2 1 C y x − y x + y x （3）． + = y y x x M x y x N x y y 0 0 ( , )d ( 0 , )d 0 （4）． y x y y y x − − 0 0 0 0
3.单选题 (1).B (2).C(3).A(4).B(5).A(6).B7.A 4.计算题 (1).解当y≠0时,分离变量得 dy 等式两端积分得 Inly=In(1+x)+InC 即通解为 y=C√+x (2).解齐次方程的通解为 令非齐次方程的特解为 V=C(x)e-3r 代入原方程,确定出C(x)5C 原方程的通解为 y=Ce+=e (3).解由M=2x=a所以原方程是全微分方程 取(x0,y0)=(0.,0),原方程的通积分为 y'dy=C x+2xy+y=c (4).令y=x,则y=l+x,,代入原方程,得 du 当≠0时,分离变量,再积分,得
3．单选题 （1）．B （2）．C （3）．A （4）．B （5）. A （6）. B 7. A 4. 计算题 （1）．解 当 y 0 时，分离变量得 x x x y y d 1 d 2 + = 等式两端积分得 y ln(1 x ) ln C 2 1 ln 2 = + + 即通解为 2 y = C 1+ x （2）．解 齐次方程的通解为 x y C 3 e − = 令非齐次方程的特解为 x y C x 3 ( )e − = 代入原方程，确定出 C x C x = + 5 e 5 1 ( ) 原方程的通解为 x y C 3 e − = + 2x e 5 1 （3）．解 由于 x N xy y M = = 2 ，所以原方程是全微分方程． 取 ( , ) (0, 0) x0 y0 = ，原方程的通积分为 1 0 3 0 3 2 (x xy )dx y dy C x y + + = 即 x + x y + y = C 4 2 2 4 2 （4）. 令 y = xu ，则 x u y u x d d = + ，代入原方程，得 2 d d u u x u u + x = − ， 2 d d u x u x = − 当 u 0 时，分离变量，再积分，得 C x x u u − = + d d 2 x C u = ln + 1 ， x C u + = ln 1
y 计算题 令y'=p,则原方程的参数形式为 +in p y=p 由基本关系式中=y,有 dx yar= p )dp=(1 积分得y=p-lnp+C 得原方程参数形式通解为 x==+In p y=p-Inp+C 5.计算题 解方程的特征根为A1=0,A2=5 齐次方程的通解为y=C1+C2e 因为a±iB=±5i不是特征根。所以,设非齐次方程的特解为 y(x)=Asin 5x+ Bcos 5x 代入原方程,比较系数得 A+25B 5A-25B=0 确定出A= B 原方程的通解为y=C1+Ce5x1 -(cos 5x-sin 5x) 6.证明题 证明由已知条件,方程在整个xOy平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件, 因此,它的任一解都可延展到平面的无穷远。 (2分)
即： x C x y + = ln 5. 计算题 令 y = p ，则原方程的参数形式为 = = + y p p p x ln 1 由基本关系式 y x y = d d ，有 p p p y y x p )d 1 1 d d ( 2 = = − + p p )d 1 = (1− 积分得 y = p − ln p + C 得原方程参数形式通解为 = − + = + y p p C p p x ln ln 1 5．计算题 解 方程的特征根为 1 = 0 ， 5 2 = 齐次方程的通解为 x y C C 5 1 2 = + e 因为 i = 5i 不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 y (x) Asin 5x Bcos5x 1 = + 代入原方程，比较系数得 − − = − + = 25 25 0 25 25 1 A B A B 确定出 50 1 A = − ， 50 1 B = 原方程的通解为 (cos5 sin 5 ) 50 1 e 5 1 2 y C C x x x = + + − 6 . 证明题 证明 由已知条件，方程在整个 xoy 平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件， 因此，它的任一解都可延展到平面的无穷远。 （2 分）
又由已知条件,知y=y是方程的一个解。 假如方程的非常数解y=y(x)对有限值x0有lmy(x)=y,那么由已知条件,该解 在点(x0,y)处可向x0的右侧(或左侧)延展.这样,过点(x,y0)就有两个不同解y=y 和y=y(x).这与解的唯一性矛盾,因此x0不能是有限值
又由已知条件，知 0 y = y 是方程的一个解。 （4 分） 假如方程的非常数解 y = y(x) 对有限值 0 x 有 0 lim ( ) 0 y x y x x = → ，那么由已知条件，该解 在点 ( , ) 0 0 x y 处可向 0 x 的右侧（或左侧）延展．这样，过点 ( , ) 0 0 x y 就有两个不同解 0 y = y 和 y = y(x) ．这与解的唯一性矛盾，因此 0 x 不能是有限值．